- Lorentzgruppe
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Die Lorentz-Gruppe O(3,1) (benannt nach dem niederländischen Mathematiker und Physiker Hendrik Antoon Lorentz) ist eine Lie-Gruppe in der Mathematik, die vielfache Anwendungen in der Physik, insbesondere der Relativitätstheorie, findet.
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Definition
Die Lorentz-Gruppe ist die lineare Invarianzgruppe des Minkowskiraumes , der ein vierdimensionaler Vektorraum mit einem Pseudo-Skalarprodukt ist. Die Lorentz-Gruppe ist die Menge aller linearen Automorphismen des Minkowskiraumes, die das Pseudo-Skalarprodukt erhalten.
Sie ähnelt damit in ihrer Definition der Gruppe der Drehspiegelungen O(3) im dreidimensionalen Raum, die aus den linearen Automorphismen des R3 besteht, die das Standard-Skalarprodukt erhalten und damit Längen und Winkel.
Der wesentliche Unterschied besteht jedoch darin, dass die Lorentz-Gruppe nicht die Längen und Winkel im dreidimensionalen Raum erhält, sondern die bezüglich des indefiniten Pseudo-Skalarprodukts im Minkowskiraum definierten Längen und Winkel. Insbesondere erhält sie Eigenzeitabstände in der speziellen Relativitätstheorie.
Formal können wir daher definieren (definierende Darstellung):
wobei die reellen 4×4 Matrizen und das Pseudo-Skalarprodukt bezeichnet.
Eigenschaften
Die Lorentz-Gruppe ist eine 6-dimensionale Lie-Gruppe. Sie ist nicht kompakt.
Die räumlichen Drehspiegelungen bilden als die Fixpunktgruppen zeitartiger Vektoren eine Untergruppe der Lorentz-Gruppe. Solche Untergruppen sind nicht normal, die Untergruppen zu verschiedenen Fixpunkten (das entspricht verschiedenen Inertialsystemen) sind zueinander konjugiert.
Die Lorentz-Gruppe sondern besteht aus vier Zusammenhangskomponenten. Elemente derselben Zusammenhangskomponente gehen durch Anwendung von infinitesimalen Transformationen auseinander hervor. Im Gegensatz dazu stehen die diskreten Transformationen, die Elemente verschiedener Zusammenhangskomponenten miteinander verbinden: Spiegelungen, Raumspiegelungen, Zeitspiegelungen und Raum-Zeit-Spiegelungen. Die Untergruppe SO(3,1) der Elemente mit Determinante 1 heißt eigentliche Lorentz-Gruppe und enthält zwei der vier Zusammenhangskomponenten. Die eigentliche orthochrone Lorentz-Gruppe ist die Zusammenhangskomponente die die Identität enthält.
Jedes Element der eigentlichen orthochronen Lorentz-Gruppe lässt sich durch zwei Elemente einer Untergruppe räumlicher Rotationen O1,2 und eine spezielle Lorentztransformation (= Boost in die x1-Richtung ) Λ in der Form O1ΛO2 darstellen.
Die eigentliche orthochrone Lorentz-Gruppe ist nicht einfach zusammenhängend, d.h. nicht jede geschlossene Kurve kann stetig auf einen Punkt zusammengezogen werden. Die universelle einfach zusammenhängende Überlagerung der eigentlichen orthochronen Lorentz-Gruppe ist die komplexe spezielle lineare Gruppe SL(2,C) (diese Gruppe findet Anwendung in der Physik bei der Theorie der projektiven Darstellungen der O(3,1) in Quantentheorien).
Lie-Algebra
Die sechsdimensionale Lie-Algebra der O(3,1) wird in der definierenden Darstellung durch die drei infinitesimalen Erzeuger der räumlichen Rotationen Ji und durch die drei infinitesimalen Erzeuger der Lorentz-Boosts Ki aufgespannt. Diese Lie-Algebra ist isomorph zur Lie-Algebra sl(2,C):
- [Ji,Jj] = εijkJk
- [Ki,Kj] = − εijkJk
wobei die Erzeuger Ji der Rotationen eine Lie-Unteralgebra bilden, nämlich die so(3).
Beispiele
Vektorfeld auf R2 Ein-parametrige Untergruppe von SL(2,C),
Möbius TransformationenEin-parametrige Untergruppe von SO+(1,3),
Lorentz TransformationenVektorfeld auf R4 Parabolisch
Hyperbolisch
Elliptisch
Siehe auch
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