Lorentzgruppe

Lorentzgruppe

Die Lorentz-Gruppe O(3,1) (benannt nach dem niederländischen Mathematiker und Physiker Hendrik Antoon Lorentz) ist eine Lie-Gruppe in der Mathematik, die vielfache Anwendungen in der Physik, insbesondere der Relativitätstheorie, findet.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Die Lorentz-Gruppe ist die lineare Invarianzgruppe des Minkowskiraumes \mathbb{R}^{3+1}, der ein vierdimensionaler Vektorraum mit einem Pseudo-Skalarprodukt ist. Die Lorentz-Gruppe ist die Menge aller linearen Automorphismen des Minkowskiraumes, die das Pseudo-Skalarprodukt erhalten.

Sie ähnelt damit in ihrer Definition der Gruppe der Drehspiegelungen O(3) im dreidimensionalen Raum, die aus den linearen Automorphismen des R3 besteht, die das Standard-Skalarprodukt erhalten und damit Längen und Winkel.

Der wesentliche Unterschied besteht jedoch darin, dass die Lorentz-Gruppe nicht die Längen und Winkel im dreidimensionalen Raum erhält, sondern die bezüglich des indefiniten Pseudo-Skalarprodukts im Minkowskiraum definierten Längen und Winkel. Insbesondere erhält sie Eigenzeitabstände in der speziellen Relativitätstheorie.

Formal können wir daher definieren (definierende Darstellung):


  O(3,1)=\left\{ \Lambda \in \mathcal{M}(4,\mathbb{R}): \langle \Lambda\cdot \mathbf{x},\Lambda\cdot \mathbf{y}\rangle_M=
  \langle \mathbf{x},\mathbf{y} \rangle_M \, \forall \quad \mathbf{x},\mathbf{y}  \in \mathbb{R}^{4}\right\},

wobei \mathcal{M}(4,\mathbb{R}) die reellen 4×4 Matrizen und \langle \mathbf{x},\mathbf{y}\rangle_M=- x_0 y_0 + \sum_{i=1}^3 x_iy_i das Pseudo-Skalarprodukt bezeichnet.

Eigenschaften

Die Lorentz-Gruppe ist eine 6-dimensionale Lie-Gruppe. Sie ist nicht kompakt.

Die räumlichen Drehspiegelungen bilden als die Fixpunktgruppen zeitartiger Vektoren eine Untergruppe der Lorentz-Gruppe. Solche Untergruppen sind nicht normal, die Untergruppen zu verschiedenen Fixpunkten (das entspricht verschiedenen Inertialsystemen) sind zueinander konjugiert.

Die Lorentz-Gruppe sondern besteht aus vier Zusammenhangskomponenten. Elemente derselben Zusammenhangskomponente gehen durch Anwendung von infinitesimalen Transformationen auseinander hervor. Im Gegensatz dazu stehen die diskreten Transformationen, die Elemente verschiedener Zusammenhangskomponenten miteinander verbinden: Spiegelungen, Raumspiegelungen, Zeitspiegelungen und Raum-Zeit-Spiegelungen. Die Untergruppe SO(3,1) der Elemente mit Determinante 1 heißt eigentliche Lorentz-Gruppe und enthält zwei der vier Zusammenhangskomponenten. Die eigentliche orthochrone Lorentz-Gruppe ist die Zusammenhangskomponente die die Identität enthält.

Jedes Element der eigentlichen orthochronen Lorentz-Gruppe lässt sich durch zwei Elemente einer Untergruppe räumlicher Rotationen O1,2 und eine spezielle Lorentztransformation (= Boost in die x1-Richtung ) Λ in der Form O1ΛO2 darstellen.

Die eigentliche orthochrone Lorentz-Gruppe ist nicht einfach zusammenhängend, d.h. nicht jede geschlossene Kurve kann stetig auf einen Punkt zusammengezogen werden. Die universelle einfach zusammenhängende Überlagerung der eigentlichen orthochronen Lorentz-Gruppe ist die komplexe spezielle lineare Gruppe SL(2,C) (diese Gruppe findet Anwendung in der Physik bei der Theorie der projektiven Darstellungen der O(3,1) in Quantentheorien).

Lie-Algebra

Die sechsdimensionale Lie-Algebra der O(3,1) wird in der definierenden Darstellung durch die drei infinitesimalen Erzeuger der räumlichen Rotationen Ji und durch die drei infinitesimalen Erzeuger der Lorentz-Boosts Ki aufgespannt. Diese Lie-Algebra ist isomorph zur Lie-Algebra sl(2,C):

[Ji,Jj] = εijkJk
[Ki,Kj] = − εijkJk

wobei die Erzeuger Ji der Rotationen eine Lie-Unteralgebra bilden, nämlich die so(3).

Beispiele

Vektorfeld auf R2 Ein-parametrige Untergruppe von SL(2,C),
Möbius Transformationen
Ein-parametrige Untergruppe von SO+(1,3),
Lorentz Transformationen
Vektorfeld auf R4
Parabolisch
\partial_u\,\! \left[ \begin{matrix} 1 & \alpha \\ 0 & 1 \end{matrix} \right]  \left[ \begin{matrix} 1+\alpha^2/2  & \alpha & 0 & -\alpha^2/2 \\
                                \alpha        & 1      & 0 & -\alpha     \\
                                0             & 0      & 1 & 0           \\
                                \alpha^2/2   & \alpha      & 0 & 1-\alpha^2/2 \end{matrix} \right] X_1 = \,\!
 x (\partial_t + \partial_z) + (t-z) \partial_x \,\!
\partial_v\,\! \left[ \begin{matrix} 1 & i \alpha \\ 0 & 1 \end{matrix} \right]  \left[ \begin{matrix} 1+\alpha^2/2 & 0 & \alpha & -\alpha^2/2  \\
                                0       & 1 & 0      & 0      \\
                                \alpha            & 0 & 1      & -\alpha            \\
                                \alpha^2/2  & 0 & \alpha & 1-\alpha^2/2 \end{matrix} \right] X_2 = \,\!
 y (\partial_t + \partial_z) + (t-z) \partial_y \,\!
Hyperbolisch
 \frac{1}{2} \left( u \partial_u + v \partial_v \right) \left[ \begin{matrix} \exp \left(\frac{\beta}{2}\right) & 0                                  \\ 
                               0                                 & \exp \left(-\frac{\beta}{2}\right) \end{matrix} \right]  \left[ \begin{matrix} \cosh(\beta) & 0 & 0 & \sinh(\beta) \\
                                0            & 1 & 0 & 0            \\
                                0            & 0 & 1 & 0            \\
                                \sinh(\beta) & 0 & 0 & \cosh(\beta) \end{matrix} \right] X_3 = \,\!
 z \partial_t + t \partial_z \,\!
Elliptisch
 \frac{1}{2} \left( -v \partial_u + u \partial_v \right) \left[ \begin{matrix} \exp \left( \frac{i \theta}{2} \right) & 0 \\ 
                               0        & \exp \left( \frac{-i \theta}{2} \right) \end{matrix} \right]  \left[ \begin{matrix} 1 & 0            & 0             & 0 \\
                                0 & \cos(\theta) & -\sin(\theta) & 0 \\
                                0 & \sin(\theta) &  \cos(\theta) & 0 \\
                                0 & 0            & 0             & 1 \end{matrix} \right] X_4 = \,\!
 -y \partial_x + x \partial_y \,\!
 \frac{v^2-u^2-1}{2} \partial_u - u v \, \partial_v \left[ \begin{matrix} \cos \left( \frac{\theta}{2} \right) & -\sin \left( \frac{\theta}{2} \right) \\ 
                               \sin \left( \frac{\theta}{2} \right) &  \cos \left( \frac{\theta}{2} \right) \end{matrix} \right]  \left[ \begin{matrix} 1 & 0             & 0 & 0            \\
                                0 & \cos(\theta)  & 0 & \sin(\theta) \\
                                0 & 0             & 1 & 0            \\
                                0 & -\sin(\theta) & 0 & \cos(\theta) \end{matrix} \right] X_5 = \,\!
 -x \partial_z + z \partial_x \,\!
 u v \, \partial_u + \frac{1-u^2+v^2}{2} \partial_v \left[ \begin{matrix} \cos \left( \frac{\theta}{2} \right) & i \sin \left( \frac{\theta}{2} \right) \\ 
                               i \sin \left( \frac{\theta}{2} \right) & \cos \left( \frac{\theta}{2} \right) \end{matrix} \right]  \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0            & 0            \\
                                0 & 1 & 0            & 0 \\
                                0 & 0 & \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\
                                0 & 0 & \sin(\theta) &  \cos(\theta) \end{matrix} \right] X_6 = \,\!
 -z \partial_y + y \partial_z \,\!

Siehe auch


Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Lorentz-Faktor — Die Lorentz Transformationen verbinden in der speziellen Relativitätstheorie und der lorentzschen Äthertheorie die Zeit und Ortskoordinaten, mit denen verschiedene Beobachter angeben, wann und wo Ereignisse stattfinden. Dabei handelt es sich um… …   Deutsch Wikipedia

  • Lorentzinvarianz — Die Lorentz Transformationen verbinden in der speziellen Relativitätstheorie und der lorentzschen Äthertheorie die Zeit und Ortskoordinaten, mit denen verschiedene Beobachter angeben, wann und wo Ereignisse stattfinden. Dabei handelt es sich um… …   Deutsch Wikipedia

  • Lorentztransformation — Die Lorentz Transformationen verbinden in der speziellen Relativitätstheorie und der lorentzschen Äthertheorie die Zeit und Ortskoordinaten, mit denen verschiedene Beobachter angeben, wann und wo Ereignisse stattfinden. Dabei handelt es sich um… …   Deutsch Wikipedia

  • Einfache-Testalgebra — In der Mathematik ist die Lie Algebra sl(2,C) der Prototyp einer einfachen Lie Algebra. Die sl(2,C) ist eine dreidimensionale, komplexe, einfache Lie Algebra. Durch diese Eigenschaften ist sie als Lie Algebra bereits eindeutig identifiziert. Bei… …   Deutsch Wikipedia

  • Ettore Majorana — Medaille mit dem Porträt Majoranas Ettore Majorana (* 5. August 1906 in Catania, Sizilien/Italien, verschollen Ende März 1938) war ein italienischer Physiker. Seine wichtigsten Arbeiten beschäftigten sich mit der Kernphysik und relativistischen Q …   Deutsch Wikipedia

  • Geschichte der speziellen Relativitätstheorie — Die Geschichte der speziellen Relativitätstheorie bezeichnet zunächst die Entwicklung von empirischen und konzeptionellen Vorschlägen und Erkenntnissen innerhalb der theoretischen Physik, die zu einem neuen Verständnis von Raum und Zeit führten.… …   Deutsch Wikipedia

  • Irving Segal — in Nizza, 1970 Irving Ezra Segal (* 13. September 1918 in der Bronx, New York City; † 24. Dezember 1998 bei Lexington, Massachusetts) war ein US amerikanischer Mathematiker, der sich mit Funktionalanalysis, harmon …   Deutsch Wikipedia

  • Lie-Algebra sl — In der Mathematik ist die Lie Algebra sl(2,C) der Prototyp einer einfachen Lie Algebra. Die sl(2,C) ist eine dreidimensionale, komplexe, einfache Lie Algebra. Durch diese Eigenschaften ist sie als Lie Algebra bereits eindeutig identifiziert. Bei… …   Deutsch Wikipedia

  • Lorentz-Gruppe — Die Lorentz Gruppe O(3,1) (benannt nach dem niederländischen Mathematiker und Physiker Hendrik Antoon Lorentz) ist eine Lie Gruppe in der Mathematik, die vielfache Anwendungen in der Physik, insbesondere der Relativitätstheorie, findet.… …   Deutsch Wikipedia

  • Mark Naimark — Mark Aronowitsch Neumark (auch Naimark, russisch Марк Аронович Наймарк, wiss. Transliteration Mark Aronovič Najmark; * 5. Dezember 1909 in Odessa, heute Ukraine; † 30. Dezember 1978 in Moskau) war ein sowjetischer Mathematiker, der sich mit… …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”