MacLaurinsche Formel

Die Maclaurinsche Reihe (nach Colin Maclaurin) ist in der Analysis eine Bezeichnung für den Spezialfall einer Taylor-Reihe mit Entwicklungspunkt 0:

$f (x) = \sum_{j=0}^{\infty} \frac{f^{(j)}(0)}{j!}x^j = f(0) + f ' (0) x + \frac{1}{2} f ''(0) x^2 + \dots$

Durch eine geeignete Substitution kann man jede Taylorreihe als Maclaurinreihe auffassen:

$f(x_0+h) = \sum_{j=0}^{\infty} \frac{f^{(j)}(x_0)}{j!}h^j = f(x_0) + f'(x_0) h + \frac{1}{2} f''(x_0) h^2 + \dots$

ist die Maclaurinreihe der Funktion

$h\mapsto f(x_0+h).$

Beispiele

• Sinus

$\sin (x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\ldots = x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\ldots$

• Exponentialfunktion

$e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots = 1 + x + \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{6} x^3 + \frac{1}{24} x^4 + \dots$

• Für Funktionen, die bei x = 0 nicht definiert oder zwar definiert, aber nicht beliebig oft differenzierbar sind - wie z. B. $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x}$ oder $\displaystyle f(x) = x\sqrt{x}$ -, lässt sich keine Maclaurinsche Reihe entwickeln.

• Das Betrachten nur endlich vieler Glieder der obigen Reihe liefert die Maclaurinsche Formel als Spezialfall der Taylor-Formel:

$f (x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n + \frac{f^{(n+1)}(\theta)}{(n+1)!} x^{n+1}$

für eine Zwischenstelle θ.