MacLaurin-Ungleichung

Die MacLaurin-Ungleichung (nach Colin Maclaurin) ist eine Aussage aus der Analysis, einem Teilgebiet der Mathematik. Sie verschärft die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel, die besagt, dass das arithmetische Mittel von endlich vielen positiven reellen Zahlen stets mindestens so groß ist wie ihr geometrisches Mittel, in Formeln

$\frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}n\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$

für eine natürliche Zahl n und $a_1,a_2,\ldots,a_n>0$. In der Verschärfung werden noch weitere Mittelwerte angegeben, die zwischen dem arithmetischen und geometrischen Mittel liegen, beispielsweise besagt die Ungleichung für drei Zahlen x,y,z

$\frac{x+y+z}3\geq\sqrt{\frac{xy+yz+zx}3}\geq\sqrt[3]{xyz}.$

Aussage

Sind a₁,...,a_n positive reelle Zahlen, und ist

$S_k=\frac{\displaystyle\sum_{1\le i_1<...<i_k\le n} a_{i_1}\cdots a_{i_k} }{{n\choose k}},$

dann gilt

$S_1\ge \sqrt{S_2}\ge ... \ge \sqrt[n]{S_n}.$

Hinweis: S₁ ist das arithmetische Mittel der Zahlen, $\sqrt[n]{S_n}$ das geometrische Mittel. Der Zähler von S_k ist das elementarsymmetrische Polynom vom Grad k in $a_1,\ldots,a_n$.

Beweis

$f(x)=(x+a_1)\cdots (x+a_n)$ lässt sich nach dem Satz von Vieta schreiben als $\sum_{k=0}^n {n\choose k} S_k\, x^{n-k}$

$f^{(n-m)}(x)=(x+b_1)\cdots (x+b_m)=\frac{n!}{m!}\,\sum_{k=0}^m \frac{m!}{k!}\, S_k\, \frac{x^{m-k}}{(m-k)!}$

Nach dem Satz von Rolle sind $b_1,...,b_m\,$ auch alle positiv.

Wieder nach dem Satz von Vieta ist $b_1\cdots b_m=S_m$ und $\hat{b_1}\, b_2\cdots b_m+b_1\, \hat{b_2}\cdots b_m+...+b_1\, b_2\cdots \hat{b_m}=m\, S_{m-1}$

Nach der AM-GM-Ungleichung ist $\frac{m\, S_{m-1}}{m}\ge\sqrt[m]{S_m^{m-1}}\,\Longrightarrow \, \sqrt[m-1]{S_{m-1}}\ge\sqrt[m]{S_m}$