Approximationstheorie

Approximation (v. lat.: proximus, -a, -um = der, die, das Nächste) bezeichnet im mathematischen Sinn eine Näherung.

Es gibt vor allem zwei Gründe, solche Näherungen zu untersuchen: Einmal könnte das Objekt des Interesses nur implizit, also als Lösung einer Gleichung gegeben sein. Ist die Gleichung schwer zu lösen, will man auf einfacherem Wege eine Näherung der Lösung finden. Auf der anderen Seite kann ein explizit gegebenes mathematisches Objekt nur schwer handhabbar sein. Dann ist eine Approximation aus einfachen Gebilden wünschenswert.

Beide Szenarien treten besonders häufig in der numerischen Mathematik auf, und so ist die Approximationstheorie ein elementares Teilgebiet beziehungsweise Hilfsmittel dieser Disziplin, da sie computergestützte Lösungsverfahren beschleunigen oder erst möglich machen kann.

Von besonderem Interesse ist die Approximation von Funktionen, beispielsweise für Näherungslösungen von schwer lösbaren Differentialgleichungen oder zur Vereinfachung von gegebenen Funktionen. Hier bietet sich häufig die Approximation mit Polynomen an, welche einfach ableitbar, integrierbar und ausrechenbar sind. Die Grundlage für die Approximation mit Polynomen schuf Weierstraß mit seinem Approximationssatz. Dieser besagt, dass eine stetige Funktion beliebig genau durch algebraische Polynome approximiert werden kann sowie dass eine periodische stetige Funktionen beliebig genau durch trigonometrische Polynome approximiert werden kann. Dieser Satz ist ein Eckpfeiler der klassischen Approximationstheorie und eine Anwendung des Satzes von Bohman-Korowkin. Der Satz von Bohman-Korowkin, benannt nach Harald Bohman und Pawel Korowkin, ist der Hauptsatz der Theorie der positiven linearen Approximationsverfahren im normierten linearen Raum C[a,b]. Mögliche Techniken hierzu sind beispielsweise die Approximation mittels eines Taylorpolynoms oder einer Interpolationsfunktion oder die Fourieranalyse periodischer Ausdrücke.

Ein anderes wichtiges Beispiel ist die Approximation von irrationalen Zahlen wie der Kreiszahl π.

Von zentraler Bedeutung bei Approximationen ist der Begriff der Norm. Diese dient dazu, verschiedene Approximationen quantitativ zu vergleichen. Im Allgemeinen fällt die Näherungslösung für verschiedenen Normen unterschiedlich aus. Wichtig ist es, den Fehler, der durch die Approximation entsteht, abschätzen zu können, um deren Qualität zu beurteilen. Dies ist nicht immer einfach und eine wichtige Aufgabe der Approximationstheorie.

Klassische Beispiele sind hier zum einen die Tschebyschow-Approximation, bei der stetige reelle oder komplexe Funktionen bezüglich der Supremumsnorm approximiert werden, sowie die L^p-Approximation, bei der L^p-Funktionen bezüglich der L^p-Norm approximiert werden.

Siehe auch: Ausgleichungsrechnung, Approximationsalgorithmus

Literatur

• Lothar Collatz, Werner Krabs: Approximationstheorie, Cambridge University Press, Cambridge 1981.
• Manfred W. Müller: Approximationstheorie, Akademische Verlagsgesellschaft Wiesbaden 1978, ISBN 3-400-00375-1
• M. J. D. Powell: Approximation Theory and Methods, Cambridge University Press, Cambridge 1981.