Membrantheorie

Modell einer doppeltgekrümmten Schale

Eine Schale im mechanischen Sinne ist ein flächiges Tragwerk, das einfach oder doppelt (räumlich) gekrümmt ist und das Belastungen sowohl senkrecht, als auch in seiner Ebene aufnehmen kann.

Definition

„Unter Schale versteht man in der Festigkeitslehre einen nach einer krummen Fläche gebildeten Körper, dessen Dicke im Verhältnis zu seiner übrigen Ausmaßen äußerst gering ist. Auch die Benennung „Schale“ weist darauf hin, dass es sich um einen Körper handelt, dessen Dicke verhältnismäßig ebenso klein ist wie die der Eierschale“

Die Schalenbauweise ist eine Form moderner Flächentragwerke. Durch ihre geringere Stärke der Wölbung als System einer selbsttragenden Membran, kann sie dieses als ihren Vorteil mit großen Spannweiten verbinden. Die Lasten solcher Flächentragwerke werden durch Längskräfte und Biegung aufgenommen. Sie unterscheiden sich von denen beim herkömmlichen Bauen. Bei dünnen Schalen, deren Dicke klein gegenüber der Spannweite ist, kann die Biegung vernachlässigt werden. In diesem Falle werden die Lasten primär durch Längskräfte nach den Auflagern hin übertragen. Diesen Zustand bezeichnet man als Membranspannungszustand.

Kuppelartige Wölbungen stellen handhabbarere Raumgeometrien dar als konkave, nach innen gewölbte Krümmungen von Membran- und Seilnetzkonstruktionen. Der überwölbte Raum wirkt beschützend. Allerdings hat die auf Druck belastete Schalenkonstruktion und ihr geringerer Verformungsgrad Einfluss auf dieses Raumprinzip. Der weitgehende Wegfall einer primären Stützkonstruktion; wie bei den Pylonen der Membrankonstruktionen, erlaubt es den Schalentragwerken ein ungestörtes Raumkontinuum zu ermöglichen. Da einige gekrümmte Gitterschalen eine klar definierte Projektionsfläche besitzen, wie zum Beispiel Kuppel-Kreis; Tonne-Rechteck, stellen Gebäudeabschlussübergänge und Anschlüsse an orthogonalen Flächen selten ein Problem dar.

Die Flächentragwerke gewinnen im Bereich der Ingenieurkonstruktionen durch neue Anforderungen aus Architektur und Gestaltung besonders nach 1945 zunehmend an Bedeutung. Aber nicht nur in der Architektur kommen Schalen vor, sondern auch in vielen anderen Bereichen wie Flugzeugbau, Autokarosserien, Trinkgläser und des Weiteren. Sie stellen somit ein wichtiges Gestaltungselement der Gegenwartskunst dar.

Dünne Schalen generell sind hochleistungsfähige, aber auch hochempfindliche Tragwerke. Neben guten statisch-konstruktiven Eigenschaften müssen sie ebenso einen hohen ästhetischen Anspruch erfüllen. Allerdings wegen seiner komplizierten Anforderungen an Statik und Material wurde diese Art von Tragwerk nur mehr sehr selten realisiert. Erst durch die Erfindung neuer Materialien, die verbesserten Eigenschaften aufweisen wurde in der heutigen Zeit dem Schalenbau wieder neue Impulse gegeben.

Entwicklung der Schale

Die Analyse von Kuppeln und Schalen stellt eine Wechselbeziehung von Konstruktion und Form dar. Der Wunsch nach weiten, stützenlosen Raumüberdachungen war schon in der Antike ein beliebtes Thema, was zur damaligen Zeit bis in weiteren Entwicklungsstufen auf große technische Schwierigkeiten stieß. In der Antike setzten sich als Bauform Kragkuppelformen durch, bei denen die einzelnen Ringe auf ebenen Lagerfugen aufgesetzt wurden. Zu den viel bewunderten Meisterwerken der Baukunst in diesem Gebiet zählen die Kuppeln des Florentiner Dom und des Petersdoms in Rom. In der späten Bronzezeit entstanden die so genannten mykenischen Kuppelgräber. Die Wände wurden aus monumentalen Steinquadern hergestellt. Als bedeutendes Beispiel hierfür ist das Schatzhaus des Atreus um etwa 1325 v. Chr. zu nennen. Dieses Bauwerk konnte damals bereits ein Durchmesser von 14,50 Metern und einer Höhe von 13,20 Meter erreicht werden. Es blieb bis zum Pantheon 1400 Jahre lang der größte Kreiskuppelbau. Erst mit der Einführung des Stahlbetons endete die lange Tradition der gemauerten Kuppeln. Das Pantheon, 118 nach Chr. in Rom erbaut, besteht in seiner Konstruktion der Kuppel aus einer inneren und äußeren Schale aus Gussbeton. Es konnte somit erstmals eine Spannweite von 43,30 Metern erreicht werden. Erste kleine Eisenbeton-Kuppeln wurden im Monier-Verfahren hergestellt. Größere Kuppeln wurden rechnerisch und konstruktiv in Balken und Rippen zerlegt. Nach diesem Prinzip wurde die damals größte Kuppelkonstruktion der Jahrhunderthalle in Breslau im Jahre 1911 – 1913 mit einer Spannweite von 65 Metern erbaut.

Die Zukunft im Kuppelbau gehörte jedoch den dünnwandigen Kuppelschalen. Es folgte ein Übergang zu dünnen, leichten Schalentragwerken. Ausschlaggebend für diese Entwicklung waren sicher das kugelkalottenförmigen Zeiss-Planetarium in Jena. Durch die Entwicklung der Ferrozementbauweise Anfang der 1920er Jahre konnte man sehr schlanke Schalentragwerke erstellen. Als Beispiel hierzu ist die zweite Planetariumskuppel in Jena zu nennen. Sie besitz bei einer Spannweite von 25 Metern eine Schalendicke von nur 6 Zentimeter. Die nach diesem Verfahren errichteten Kuppelschalen in den späten 1920er Jahren ermöglichten die Überwölbung immer größerer Räume.

Einen großen Fortschritt auf dem Gebiet der Schalenbauweise und insbesondere die Verwendung der Schale als Dachkonstruktionen gab es nach dem 2. Weltkrieg. Vor dem 2. Weltkrieg kannte man zwei Typen: die einfach gekrümmten Schalen, die hauptsächlich zu zylindrischen Schalen führten, und die Kuppeln. Anhand dieser Erfahrungen und dem Wissen der Vorkriegszeit erfolgten internationale Verbreitung und Weiterentwicklung der Schalenbauweise.

Der Aufschwung in der Nachkriegszeit zeigte in der Suche nach neuen Formen und Entwicklungen folgende Errungenschaften auf diesem Gebiet:

• Entwicklung der doppelt gekrümmten Flächen
• Einführung neuer Formen
• Tendenz zu größeren Spannweiten was daraus resultierte, dass man versuchte, große Flächen ohne Träger zu Überdachen
• Vorfertigung der Schalen als Tendenz zur Wirtschaftlichkeit auf diesem Gebiet

Rotationsschale

Rotationsschalen sind spezielle Schalen, die geometrisch durch das Drehen einer ebenen Kurve, der sogenannten Meridiankurve um eine in ihrer Ebene liegende Rotationsachse entstehen. Zu den Rotationsschalen gehören die Zylinderschale (die Meridiankurve ist eine Parallele zur Rotationsachse), die Kugelschale (die Meridiankurve ist ein Halbkreis mit dem Mittelpunkt auf der Rotationsachse) und die Kegelschale (die Meridiankurve ist eine Gerade, die die Rotationsachse schneidet). Häufig werden unterschiedliche Rotationsschalen mit einander kombiniert, z. B. eine (endlich lange) Zylinderschale mit Halbkugelschalen an den Enden.

Die Rotationsschalen können in vielen Fällen mit der Membrantheorie (siehe unten) berechnet werden.

Annahmen für die Berechnung

Bei der Berechnung von Schalen kann vielfach folgendes vorausgesetzt werden:

• Die Schalendicke ist klein im Vergleich zur Ausdehnung.
• Die Verformungen sind klein im Vergleich zur Schalendicke.
• Punkte die auf einer Normalen zur Mittelebene liegen, befinden sich auch nach einer Verformung wieder auf einer solchen Geraden.
• Senkrecht zur Mittelebene wirkende Normalspannungen sind vernachlässigbar klein.
• Der Werkstoff ist homogen und isotrop und folgt dem Hookeschen Gesetz.

Abweichungen von den genannten Voraussetzungen bedingen in der Regel weit höheren Berechnungsaufwand.

Berechnungstheorien

Man unterscheidet die sogenannte Membrantheorie und die Biegetheorie.

Membrantheorie

Die Membrantheorie geht im Gegensatz zur Biegetheorie von einigen weiteren Vereinfachungen aus. Sie ergibt keine genauen Lösungen, jedoch ist sie für viele Anwendungsfälle ausreichend.

• Durch die geringe Wanddicke sind die Biegesteifigkeiten und die inneren Biegemomente klein. Durchbiegungen werden daher vernachlässigt. Die maximalen Biegemomente treten in den Randbereichen auf.
• Der Einfluss der Formänderung auf den Kräfteverlauf wird vernachlässigt. Das Tragwerk wird also praktisch im unverformten Zustand untersucht.
• Die Kräfte an den Schalenrändern sind tangential zur Mittelebene gerichtet.

Der Rand einer Membranschale ist frei oder tangential abgestützt. Es treten nur Normal- und Schubspannungen auf, die innerhalb der Ebene liegen und über die Wandstärke (Membrandicke) konstant sind.

Ein Spannungszustand in Schalen, der den Bedingungen der Membrantheorie entspricht, wird als Membranspannungszustand bezeichnet. Ein solcher Membranspannungszustand ist Grundlage der Kesselformel.

Biegetheorie

Wenn die Voraussetzungen der Membrantheorie nicht oder nicht annähernd gegeben sind, muss die Biegetheorie angewendet werden, d. h., die Biegesteifheit der Schale muss berücksichtigt werden, bei dicken Schalen u. U. auch die endliche Schubsteifigkeit.

Manchmal genügt es, nach der Anwendung der Membrantheorie die Einwirkungen der Biegetheorie lokal nachträglich zu berücksichtigen. Das gilt vor allem, wenn der Rand der Schale gelenkig oder eingespannt abgestützt ist und damit die Bedingungen der Membrantheorie nicht erfüllt sind. Andere Beispiele sind die Übergänge zwischen unterschiedlichen Rotationsschalen.

Materialien

Durch die neuen Anforderungen durch die Architektur und Gestaltung gewinnen Flächentragwerke im Bereich der Ingenieurskunst immer mehr an Bedeutung. Vom Tragverhalten her hat die Schale den günstigsten Materialeinsatz aller Tragwerke. Die Fläche der Schale kann geschlossen ausgebildet werden, wie zum Beispiel mit dem Baustoff Stahlbeton, oder als ein Gittertragwerk. Materialien wie Stahl, Holz oder Verbundwerkstoffe kommen hierbei zum Einsatz. Diese Gittertragwerke, welche primär nur durch Druckkräfte belastet werden, können dann mit Textilien, Glas oder anderen Materialien ausgefacht werden. Diese Ausfachungen werden allerdings nicht als Teil des Tragwerkes angesehen sondern mehr als Verkleidungselement oder auch als Raumabschluss.

Seit Frei Otto sind weitspannende leichte Flächentragwerke ein Begriff. Forschungsgruppen befassten sich hierbei nicht nur mit der Weiterentwicklung der Konstruktionsarten sondern auch mit der Kombination von verschiedensten Baumaterialien. Unter anderem auch mit der Kombination von Membrane und Beton. Wichtig bei dieser Methode ist, dass die Konstruktion des Tragwerkes speziell auf die Materialeigenschaften von Beton und Membran abgestimmt werden. Diese neue Art von Bauen wird als „Membranbetonverbundbau“ bezeichnet.

In der früheren Zeit verwendete man Materialien wie Stein, Lehm und Mauerwerk. Bis zur heutigen Zeit hat sich viel getan, auch was die Materialien betrifft.

Beton

Besonders für die freien nichtgeometrischen Formen ist Beton der ideale Werkstoff. Er ist leicht zu verarbeiten und ermöglicht eine bestmögliche Umsetzung des Entwurfes, besonders bei geometrisch nicht eindeutigen Formen. Er erfüllt auch die wirtschaftlichen und klimatischen Bedingungen. Aber auch Beton hat Nachteile. Besonders bei Schalenkonstruktion können durch die schnelle Austrocknung von Beton große Probleme auftreten, die bei normalen Bauten im allgemeinen keine Probleme darstellen. Dieses kann bei Schalen gelöst werden, in dem man beispielsweise durch äußere Polystyrolschalen die Verdunstung des Wassers sehr stark behindert. Dies bewirkt, dass der Beton langsamer aushärtet und gleichzeitig auch eine höhere Festigkeit erzielt wird.

Stahlbeton

Stahl und Beton wirken in Fällen, wo in Betonteilen Zugspannungen auftreten, als Verbundbaustoff Stahlbeton zusammen. Weil beide Baustoffe eine annähernd gleiche Wärmeausdehnung aufweisen, bleibt diese Verbundwirkung auch bei Temperaturschwankungen erhalten. Bis zu einer gewissen Grenze ist das Tragverhalten von Stahlbetonbauteilen gleich mit dem aus Stahl oder unbewehrtem Beton. Der Verbund zwischen Stahl und Beton stellt dabei sicher, dass die erforderliche Rissbildung auf ein unschädliches Maß beschränkt wird. Stahlbeton eignet sich besonders dafür, monolithische Flächentragwerke herzustellen. Solche Flächentragwerke zeichnen sich durch ihre hohe Steifigkeit und geringe Verformungen aus.

Glas

Da Glas als Bauwerkstoff ein sehr sprödes Materialverhalten aufweist, erfordert es gerade für konstruktiv tragende Scheiben die Vermeidung von Zugspannungen. Glas wird Hauptsächlich bei Gitterschalenkonstruktionen als Eindeckung für große verkrümmte Dachkonstruktionen verwendet.

Kunststoff

Im Bausektor wird in Zukunft sicherlich vermehrt Kunststoffe zur Ausführung tragender Bauteile herangezogen. Besonders Thermoplaste (Acrylate) und Duroplaste haben große Bedeutung erlangt. Diese Kunststoffe besitzen eine Reihe vorteilhafter Eigenschaften: wetterfest, meist sehr widerstandsfähig gegen Chemikalien, hohe Festigkeiten, geringes Gewicht und zum Teil lichtdurchlässig.

Holz

Große Tonnen, Kuppeln sowie andere freie Schalenformen mit Breiten um 20 Metern und Längen um die 50 Metern können künftig aus Holzwerkstoffen hergestellt werden. Dieser Aspekt bedeutet gleichzeitig, dass in der zeitgenössischen Architektur freie Flächentragwerke durch einfache Systeme verwirklicht werden können. Am Besten eignet sich für dieses Vorhaben der Holzwerkstoffverbund. Ausgangsmaterial hierfür ist ein Werkstoffverbund aus Dreischicht-, Sperrholz- oder Sandwichplatten. Diese Hölzer werden auf textile Trägergewebe mit zweikomponentigen Klebstoff mit Gewebe aus Polyester und Glasfasern aufgeklebt. Dadurch kann das Tragwerk flächenmäßig hergestellt werden und die einzelnen Bahnen zur Baustelle transportiert werden und dort dann schlussendlich montiert werden.

Bauweisen

Die Schalenbauweise ist eine Form moderner Raumtragwerke. Sie hat den Vorteil, einer geringeren Stärke der Wölbung, als System einer selbsttragenden Membran,mit großen Spannweiten zu verbinden.

Bis heute ist es das gängigste Prinzip zur Gestaltung der Schalen mathematisch definierte geometrische Formen zu wählen. Die Zeit der einfach gekrümmten Formen ist vorbei. Nun stehen dem Architekten eine Vielzahl doppelt gekrümmter Flächen zur Verfügung; angefangen von Kuppeln bis hin zu hyperbolischen Paraboloiden welche die zwei beliebtesten Geometrien darstellen. Fast all diese Formen sind quadratische Flächen, was auch gleichzeitig bedeutet, dass damit zusammenhängende Probleme wie zum Beispiel Spannungen, Formänderungen und des Weiteren im Vergleich zu früheren Zeiten viel besser durchforscht wurden. Allerdings auch wenn mehr neue Erkenntnisse auf diesem Gebiet zur Verfügung stehen ist man weiterhin gezwungen innerhalb einer gewissen Bandbreite von geometrischen Formen zu bleiben.

Ein Grundprinzip könnte heißen: „Wählt man die richtige Form (beim architektonischen Entwurf), so ist die halbe Arbeit bereits getan. Dies heißt, der Geometrie ihren richtigen Platz zuweisen.“ Das bedeutet auch, dass der Herstellungsprozess für Schalen einen Einfluss auf deren Form haben kann. Häufig wird für Schalen die Bauweise der Vorfertigung angewendet. Es werden die einzelnen Elemente in einer Größe hergestellt, die leicht zu transportieren und zu heben sind. Schon vor Jahrzehnten wurde bei Holzschalen die Vorfertigung angewandt.

Bei der Vorfertigung wird, was Materialaufwand betrifft, die Einsparung als ein vorrangiger Gesichtspunkt der Entwicklung angestrebt. Die Relation zwischen Form und Tragfähigkeit ist für diesen Gesichtspunkt bedeutend und besteht im Bauwesen kaum in einer engeren Verbindung als mit Schalenkonstruktionen.

Dank der Weiterentwicklung auf dem Schalenbaugebiet kann man heutzutage, im Vergleich zu anderen Baukonstruktionen von einem Materialaufwandminimum sprechen. Auch für die Arbeitsmittel wurde zu Gunsten dieser Bauart ein großer Schritt erzielt. War es noch vor Jahrzehnte ein großer Aufwand, meist geometrisch komplizierte Formen mit aufwendigen Holzschalungen zu verkleiden, ist es in der heutigen Zeit gelungen, fahrbare Gerüste aus Metall zu entwickeln, die weniger kostspielig sind. Somit ist es möglich, statisch-konstruktive Formen monolithisch herzustellen.

Besonders im Industriebau findet man seit Ende der vierziger Jahre vorgefertigte Schalen. Da man diese Art von Konstruktion auch für allgemeine Bauten ermöglichen wollte, wurden sie in folgende Arten von Bauwerken eingeteilt:

• „Vorgefertigte Schalenkonstruktionen mit besonderer Aufgabenstellung für Konstruktion, Funktion, Gestaltung und Repräsentation. In diesem Falle ist oft eine Anwendung der als Einzelfertigung auf der Baustelle oder auch im Werk hergestellten Fertigteile gerechtfertigt“
• „Vorgefertigte Schalenkonstruktionen, die bei Industriebauten in großer Häufigkeit verwendbar sind. Dazu gehören neben Dächern von Hallen- und Flachbauten, bei denen große Stützenabstände erwünscht sind, auch Dachkonstruktionen ....“

Eine weitere Einteilung könnte nach Werksfertigung und Baustellenfertigung sowie nach industrieller Fertigung und Einzelfertigung erfolgen.

Neben der geschlossen ausgebildeten Schalenbauweise gibt es die Gitterschalen. Gitterschalen sind biegesteife Flächentragwerke. Sie sind besonders als Tragwerk geeignet, die für spätere Eindeckungen wie zum Beispiel für große, gekrümmte Glasdächer dienen. Sie sind, wie die Schalen im Allgemeinen dünnwandig, gekrümmt ausgebildet. Ihr Eigengewicht sowie Lasten die von Außen einwirken werden größtenteils durch eine Normalkraftbeanspruchung in der Schalenmittelebene abgetragen. Dies nennt man den Membranspannungszustand.

Gitterschalen kann man auch als eine Schale mit einer großen Anzahl von großen Öffnungen beschreiben. Allerdings darf das Schalentragverhalten dadurch nicht beeinträchtigt werden. Stellt man beispielsweise die Gitterschale aus einzelnen Stäben her, so müssen die Stabverbindungen in den Knotenpunkten und die Maschenart die Tragwirkung dieser Konstruktion auf jeden Fall sicherstellen. Schalen verdanken ihre Tragwirkung der Krümmung und der Verdrehung. Sie können einfach, wie zum Beispiel zylindrisch, oder doppelt gekrümmt, wie zum Beispiel sphärisch, ausgeführt sein.

Bei sehr weit gespannten Gitterschalen können Stabilitätsprobleme, wie dem Beulen, entstehen. Solche dünnen Schalen müssen mit Zusatzmaßnahmen versehen werden. Als Lösungen hierzu stehen Bogen, Rahmen, Seilüberspannungen und des Weiteren zur Verfügung. Rahmenartige Knotenpunkte müssen in Fällen ausgeführt werden, wo keine Diagonalen erwünscht sind. Allerdings führen all diese Zusatzmaßnahmen zu konstruktiven Mehraufwand.

Da bei Gitterschalen Zug- und Biegebeanspruchungen durch das Eigengewicht und von Außen einwirkende Kräfte auftreten, können diese Lasten durch das Heranziehen von Glasflächen als Aussteifung abgefangen werden.

Siehe auch

• Demontables Bauen
• Platte (Technische Mechanik)
• Scheibe (Technische Mechanik)