Area-Sinus Hyperbolicus

Areasinus Hyperbolicus (abgekürzt $\operatorname{arsinh}$, $\operatorname{asinh}$, $\operatorname{arsh}$; seltener auch $\!\ \sinh^{-1}$) und Areakosinus Hyperbolicus (abgekürzt $\operatorname{arcosh}$, $\operatorname{arch}$; seltener auch $\!\ \cosh^{-1}$) gehören zu den Areafunktionen und sind die Umkehrfunktionen von Sinus Hyperbolicus bzw. Kosinus Hyperbolicus.

Definitionen

Die Funktionen lassen sich durch die folgende Formeln ausdrücken:
Areasinus Hyperbolicus:

${\rm arsinh}(x) = \ln\left(x + \sqrt{x^2 + 1} \right)$

Areakosinus Hyperbolicus:

${\rm arcosh}(x) = \ln\left(x + \sqrt{x^2 - 1} \right)$

Umrechnung

$\operatorname{arsinh}(x) = \operatorname{sgn}(x) \cdot \operatorname{arcosh}\left(\sqrt{|x|^2 + 1} \right)$

Für x > 1 gilt:

$\operatorname{arcosh}(x) = \operatorname{arsinh}\left(\sqrt{|x|^2 - 1} \right)$

Eigenschaften

Graph der Funktion arsinh(x)

Graph der Funktion arcosh(x) (rot) und Asymptote (blau)

	Areasinus Hyperbolicus	Areakosinus Hyperbolicus
Definitionsbereich	$- \infty < x < + \infty$	$1 \le x < + \infty$
Wertebereich	$- \infty < f(x) < + \infty$	$0 \le f(x) < + \infty$
Periodizität	keine	keine
Monotonie	streng monoton steigend	streng monoton steigend
Symmetrien	Punktsymmetrie zum Ursprung, ungerade Funktion	keine
Asymptote	$f(x)\to \pm \ln(2|x|)$ für $x \to \pm \infty$	$f(x)\to \ln(2x)$ für $x \to +\infty$
Nullstellen	x = 0	x = 1
Sprungstellen	keine	keine
Polstellen	keine	keine
Extrema	keine	Minimum bei x = 1
Wendepunkte	x = 0	keine

Reihenentwicklungen

Wie bei allen trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen gibt es auch Reihenentwicklungen. Dabei tritt die Doppelfakultät und die Verallgemeinerung des Binominalkoeffitienten auf.

Die Reihenentwicklungen lauten:

$\begin{alignat}{2} {\rm arsinh}(x) &= x \sum_{k=0}^\infty \frac{(2k-1)!!(-x^2)^k}{(2k)!! (2k+1)} = x - \frac{1}{6} x^3 + \frac{3}{40} x^5 - \frac{15}{336} x^7 + \frac{105}{3456} x^9 - \dots & \text{ f}\ddot{\text{u}} \text{r }|x| < 1 \\ &= \sum _{k=0}^{\infty } \frac{\left(\begin{array}{c} -\frac12 \\ k \end{array} \right) x^{2 k+1}}{2 k+1} = x - \frac{1}{6} x^3 + \frac{3}{40} x^5 - \frac{5}{112} x^7 + \frac{35}{1152} x^9 - \dots & {} \\ &= {\rm sgn}(x) \cdot \left[ \ln(2|x|) - \sum_{k=1}^\infty \frac{(2k-1)!!}{2k(2k)!!(-x^2)^k} \right] & \text{ f}\ddot{\text{u}} \text{r }|x| >1 \\ {\rm arcosh}(x) &= -\ln (x^{-1})+\ln 2-\sum_{n=1}^\infty \frac{(2n-1)!!}{2n\cdot (2n)!!}x^{-2n} & {} \end{alignat}$

Ableitungen

Die Ableitung des Areasinus Hyperbolicus lautet:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\rm arsinh}(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$.

Die Ableitung des Areakosinus Hyperbolicus lautet:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\rm arcosh}(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$.

Integrale

$\int \operatorname{arsinh}(x)\ \mathrm dx = x \cdot \operatorname{arsinh}(x) - \sqrt{x^2 + 1} + C$

$\int \operatorname{arcosh}(x)\ \mathrm dx = x \cdot \operatorname{arcosh}(x) - \sqrt{x^2 - 1} + C$

Siehe auch

• Trigonometrische Funktionen
• Kreis- und Hyperbelfunktionen

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Inverse Hyperbolic Sine und Inverse Hyperbolic Cosine auf MathWorld (engl.)

Trigonometrische Funktion

Primäre trigonometrische Funktionen
Sinus und Kosinus | Tangens und Kotangens | Sekans und Kosekans 

Umkehrfunktionen (Arkusfunktionen)
Arkussinus und Arkuskosinus | Arkustangens und Arkuskotangens | Arkussekans und Arkuskosekans 

Hyperbelfunktionen
Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus | Tangens Hyperbolicus und Kotangens Hyperbolicus | Sekans Hyperbolicus und Kosekans Hyperbolicus 

Areafunktionen
Areasinus Hyperbolicus und Areakosinus Hyperbolicus | Areatangens Hyperbolicus und Areakotangens Hyperbolicus | Areasekans Hyperbolicus und Areakosekans Hyperbolicus