Arg max

Die Funktion arg max (argumentum maximi, dt. Argument des Maximums) ist eine in der Mathematik verwendete Funktion zur Bestimmung des Wertes, an dem eine Funktion ihr Maximum annimmt. Analog dazu wird die Funktion arg min benutzt.

Definition

Ist D der Definitionsbereich einer Funktion f, dann ist argmax von f der Wert x_max, an dem die Funktion ihr Maximum annimmt, das heißt,

$x_\mathrm{max}=\arg \max f(x) :\Leftrightarrow f(x_\mathrm{max})= \max_{x \in D} f(x).$

Es geht also nicht um den Wert des Maximums selbst, sondern um einen Wert aus dem Definitionsbereich.

Das ist nicht wohldefiniert, falls die Funktion ihr Maximum an mehreren Stellen annimmt.

Beispiel

$\arg\max_{x\in\R} (x(10-x)) = 5,$

da der maximale Wert von

x(10 − x)

25 ist, der bei x = 5 angenommen wird.

Alternative Definitionen

Um das Problem der Wohldefiniertheit zu beseitigen, kann man alternativ argmax als mengenwertige Funktion erklären:

$\arg \max_{x \in D} f(x) := \{x \in D\ |\ f(x)\text{ maximal}\}.$

Analog dazu wird

$\arg \min_{x \in D} f(x) := \{x \in D\ |\ f(x)\text{ minimal}\}$

definiert.

Beispiel

$\arg \max_{x \in [0,4\pi]} \cos(x) = \{0,2\pi,4\pi\}.$