arg max

Die Funktion arg max (argumentum maximi, dt. Argument des Maximums) ist eine in der Analysis verwendete Funktion zur Bestimmung der Stelle, an der eine Funktion ihr Maximum annimmt. Analog dazu wird die Funktion arg min benutzt.

Definition

Ist D der Definitionsbereich einer Funktion f, dann ist arg max  von f die Stelle x_max, an der die Funktion ihr Maximum annimmt, das heißt,

$x_\mathrm{max}=\arg \max f(x) \Leftrightarrow f(x_\mathrm{max})= \max_{x \in D} f(x).$

Es geht also nicht um den Wert des Maximums selbst, sondern um einen Wert aus dem Definitionsbereich. Dieser Wert ist nicht wohldefiniert, falls die Funktion ihr Maximum an mehreren Stellen annimmt.

Beispiel

$\arg\max_{x\in\R} (x(10-x)) = 5,$

da die Funktion f(x) = x(10 − x) den maximalen Wert 25 besitzt, der an der Stelle x_max = 5 angenommen wird.

Alternative Definitionen

Um das Problem der Wohldefiniertheit zu beseitigen, kann man alternativ argmax als mengenwertige Funktion erklären:

$\arg \max_{x \in D} f(x) := \{x \in D\ |\ f(x)\text{ maximal}\}.$

Analog dazu wird

$\arg \min_{x \in D} f(x) := \{x \in D\ |\ f(x)\text{ minimal}\}$

definiert.

Beispiel

$\arg \max_{x \in [0,4\pi]} \cos(x) = \{0,2\pi,4\pi\}.$