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Die binäre Exponentiation ist eine effiziente Methode zur Berechnung von natürlichen Potenzen, also Ausdrücken der Form xk mit einer natürlichen Zahl k.
Dieser Algorithmus wurde bereits um ca. 200 v. Chr. in Indien entdeckt und ist in einem Werk namens Chandah-sûtra niedergeschrieben.
Inhaltsverzeichnis
Motivation
Um z = x4 zu berechnen, kann man entweder ausrechnen (drei Multiplikationen) oder , (zwei Multiplikationen), also z = (x2)2.
Ebenso können auch andere ganzzahlige Potenzen durch „fortgesetztes Quadrieren und gelegentliches Multiplizieren“ effizient berechnet werden.
Dieses Einsparen von Multiplikationen funktioniert sowohl für reelle Zahlen als auch für reellwertige Matrizen und beliebige andere Halbgruppen.
Algorithmus
- Umwandlung von k in die zugehörige Binärdarstellung.
- Ersetzen jeder 0 durch Q und jeder 1 durch QM.
- Streichen des führenden QM-Paares.
- Nun wird Q als Anweisung zum Quadrieren und M als Anweisung zum Multiplizieren aufgefasst.
- Somit bildet die resultierende Zeichenkette von links nach rechts gelesen eine Vorschrift zur Berechnung von xk.
Beispiel
Sei k = 23. Die Binärdarstellung von 23 lautet 10111. Daraus ergibt sich nach den Ersetzungen QM Q QM QM QM. Nach dem Streichen des führenden QM-Paares hat man Q QM QM QM. Daraus können wir nun ablesen, dass der Rechenvorgang folgendermaßen auszusehen hat: "quadriere, quadriere, multipliziere mit x, quadriere, multipliziere mit x, quadriere, multipliziere mit x".
Formal sieht das Ganze so aus: bzw. sukzessive geschrieben:
Man sieht am Beispiel, dass man sich mit Hilfe der binären Exponentiation einige Rechenschritte sparen kann. Anstatt von 22 Multiplikationen werden nur mehr 7 benötigt, indem man viermal quadriert und dreimal mit x multipliziert.
Alternativer Algorithmus
Man kann das Verfahren für eine Berechnung von Hand auch so gestalten, dass man zunächst die Basis oft genug quadriert und anschließend die richtigen Zahlen miteinander multipliziert. Dann ähnelt es der russischen Bauernmultiplikation, welche die Multiplikation zweier Zahlen auf das Verdoppeln und Addieren von Zahlen zurückführt.
Dazu schreibt man den Exponenten links und die Basis rechts. Der Exponent wird schrittweise halbiert (das Ergebnis wird abgerundet) und die Basis schrittweise quadriert. Man streicht die Zeilen mit geradem Exponenten. Das Produkt der nichtgestrichenen rechten Zahlen ist die gesuchte Potenz.
Beispiel
218 18 29 4 4 162 2561 65.536 Ergebnis 262.144 (= 4 · 65.536) Binäre modulo-Exponentiation
Beim Rechnen modulo einer natürlichen Zahl ist eine leichte Modifikation anwendbar, die verhindert, dass die berechneten Zahlen zu groß werden: Man bildet nach jedem Quadrieren den Rest.
Beispiel
218 mod 39 18 29 4 4 162 22(= 256 mod 39)1 16 (= 484 mod 39) Ergebnis 25 (= 4 · 16 mod 39 = 218 mod 39) ähnliche Algorithmen
Die Binäre Exponentiation muss nicht notwendig die "multiplikationssparendste" Berechnungsart einer Potenz sein. Um beispielsweise z = x15 zu berechnen, kann man entweder gemäß binärer Exponentiation
- berechnen (6 Multiplikationen), oder
- , (5 Multiplikationen).
Literatur
- Donald E. Knuth: The Art of Computer Programming. Vol 2. Addison Wesley, 1998 (Seite 399)
- Jörg Arndt, Christoph Haenel: Pi. Algorithmen, Computer, Arithmetik. 2. Auflage. Springer, Berlin 2000 (Seite 120-121) ISBN 3-540-66258-8
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