Multikollinearität

Multikollinearität ist ein Problem der Regressionsanalyse und liegt vor, wenn zwei oder mehr erklärende Variablen eine sehr starke Korrelation miteinander haben. Zum einen wird mit zunehmender Multikollinearität das Verfahren zur Schätzung der Regressionskoeffizienten instabil und Aussagen zur Schätzung der Regressionskoeffizienten zunehmend ungenau. Zum anderen ist die Modellinterpretation nicht mehr eindeutig.

Probleme der Multikollinearität

Perfekte Kollinearität macht die rechnerische Durchführung der linearen Regressionsanalyse unmöglich und tritt meist als Folge der Fehlspezifikation des zu Grunde liegenden Modells auf.

Numerische Instabilität

Mathematisch lässt sich die Lösung des linearen Regressionsproblems y_i = b₀ + b₁x_i,1 + ... + b_px_i,p für die Regressionkoeffizienten der mit der Kleinste-Quadrate-Methode darstellen als

$\hat{b} = (X^\prime X)^{-1}X^\prime y$.

Der Vektor $\hat{b}=(\hat{b}_0, ..., \hat{b}_p)$ enthält die geschätzten Regressionsparameter, der Vektor y = (y₁,...,y_n) und die Matrix

$X=\begin{pmatrix} 1 & x_{1,1} & \cdots & x_{1,p} \\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ 1 & x_{n,1} & \cdots & x_{n,p} \end{pmatrix}$

die n p-dimensionalen Beobachtungswerte. Das Problem ist die Berechnung der Inversen von $X^\prime X$; je stärker die Multikollinearität ist, desto mehr nähert sich $X^\prime X$ einer singulären Matrix an, d.h. es existiert keine Inverse.

Modellinterpretation

Wenn das Regressionsmodell y = b₀ + b₁x₁ + b₂x₂ ist und perfekte Multikollinearität vorliegt, d.h.

$x_2=c_0+c_1 x_1\,$ oder umgestellt

$x_1 = \frac{1}{c_1} x_2 - \frac{c_0}{c_1}$

und setzt beide Gleichungen jeweils in das Regressionmodell ein, so erhält man

(1) $y = b_0+b_1 x_1 + b_2 (c_0+c_1 x_1) = (b_0 + b_2 c_0) + (b_1 +b_2 c_2) x_1\,$

(2) $y = b_0+b_1 \left(\frac{1}{c_1} x_2 - \frac{c_0}{c_1}\right) + b_2 x_2 = \left(b_0+\frac{b_1c_0}{c_1}\right) + \left(\frac{b_1}{c_1}+b_2\right) x_2$

Im Modell (1) hängt y nur noch von x₁ ab und im Modell (2) hängt y nur noch von x₂ ab. Es stellt sich nun die Frage, welches Modell ist das "Richtige"? In der Ökonomie spricht man von nicht identifizierbaren Modellen.

Identifikation von Multikollinearität

Weil empirische Daten immer einen gewissen Grad an Multikollinearität aufweisen, wurden Kennzahlen entwickelt, die Hinweise auf Multikollinearität liefern. Einen eindeutigen Richtwert gibt es jedoch nicht.

Korrelation

Zur Aufdeckung von Multikollinearität dient z. B. die Analyse der Korrelationskoeffizienten der Regressoren. Sehr hohe positive oder negative Korrelationskoeffizienten zeigen einen starken Zusammenhang zwischen den Regressoren und damit Multikollinearität an. Eine niedrige Korrelation zwischen den Regressoren bedeutet jedoch nicht automatisch die Abwesenheit von Multikollinearität; auch lineare Kombinationen von Regressoren, die eine hohe positive oder negative Korrelation aufweisen, z.B. zwischen d₁x₁ + d₂x₂ und d₃x₃ + d₄x₄, führen zu den oben genannten Problemen.

Bestimmtheitsmaß

Ein hohes Bestimmtheitsmaß $R_i^2$ der linearen Regressionen $x_i = d_{i0} + \sum_{j=1\atop j\neq i}^p d_{ji} x_j$, d.h. der ite Regressor wird durch alle anderen Regressoren gut vorhergesagt, zeigt Multikollinearität an.

Toleranz

Die Toleranz $T_i = 1-R_i^2$ wird zur Einschätzung der Multikollinearität benutzt. Ein Wert von T_i < 0.2 deutet auf eine starke Multikollinearität hin.

Varianzinflationsfaktor

Wenn der Varianzinflationsfaktor $VIF_i = \frac{1}{1-R_i^2}$ größer als 4 ist, ist dies ein Hinweis auf starke Multikollinearität.

Konditionsindex

Die Matrix $X^\prime X$ ist positiv semi-definit, d.h. alle Eigenwerte λ_i der Matrix sind positiv oder Null. Wird die Matrix singulär, dann ist mindestens ein Eigenwert gleich Null. Ist der Konditionsindex

$KI_j = \sqrt{\frac{\lambda_j}{\min_i \lambda_i}}$

für ein KI_j größer als 30 spricht man ebenfalls von starker Multikollinearität.

Literatur

• Backhaus, K., Erichson, B., Plinke, W., Weiber, R.: Multivariate Analysemethoden. Eine anwendungsorientierte Einführung. Berlin u.a., 11. Auflage 2006, S.89-92. ISBN 3-540-27870-2

Siehe auch

• Ökonometrie
• Regressionsanalyse
• Kollinearität