Multivariate Statistik

Mit Multivariaten Verfahren (Multivariate Analyse(methoden), Abk.: MVA) werden multivariat verteilte statistische Variablen untersucht. Man betrachtet hier nicht eine Variable isoliert (univariat verteilt), sondern das Zusammenwirken mehrerer Variablen zugleich, ihre Abhängigkeitsstruktur.

Gliederung

Strukturprüfende Verfahren
Skalenniveau der abhängigen Variable	metrische unabhängige Variable	nominale unabhängige Variable
Metrische abhängige Variable	Regressionsanalyse	Varianzanalyse, Regression mit Dummies
Nominale abhängige Variable	Diskriminanzanalyse, Logistische Regression	Kontingenzanalyse

Multivariate Verfahren lassen sich gliedern in Strukturprüfende Verfahren und Strukturentdeckende Verfahren.

Strukturprüfende Verfahren sind:

• Regressionsanalyse
• Varianzanalyse
• Diskriminanzanalyse
• Kontingenzanalyse
• Logistische Regression (Logit-Modell)
• Strukturgleichungsmodelle
• Conjoint-Analyse

Strukturentdeckende Verfahren sind:

• Faktorenanalyse
• Clusteranalyse
• Multidimensionale Skalierung
• Korrespondenzanalyse
• Neuronale Netze
• Hauptkomponentenanalyse

Die klassischen Verfahren sind durchweg lineare Modelle, die besondere Anforderungen an die verwendeten Daten stellen. So sollten die Daten ausreißerfrei und nicht asymmetrisch verteilt sein. Bei Abweichen der Daten von der geforderten Struktur behilft man sich beispielsweise, indem man vorhandene Ausreißer entfernt oder die Daten einer nichtlinearen Transformation, etwa Logarithmieren unterzieht. Es existieren auch vielfach alternative Methoden, die iterativ gewonnene Lösungen ermöglichen.

Häufig verwendete Kriterien für eine optimale Lösung sind

• Distanzen zwischen Punkten in einem mehrdimensionalen Raum. Erwähnenswert ist hier vor allem die Mahalanobis-Distanz, die man grob vereinfacht als Quadrat der Euklidischen Distanz bezeichnen könnte.
• Varianzen, die minimiert bzw. maximiert werden. Die Varianz dient in der Informationstheorie als Maß für den Informationsgehalt von Daten.

Die manuelle Berechnung Multivariater Verfahren ist meistens sehr aufwändig. Daher erfuhren diese Methoden erst mit der Entwicklung der EDV ihren Aufschwung. Auch können häufig bei berechneten Ergebnissen nur wenig Angaben über zu Grunde liegende Wahrscheinlichkeitsverteilungen gemacht werden.

Beispiele

Beispiele für Verwendung von Multivariaten Verfahren:

• Um psychologische Profile zu erstellen und aufgrund von Vergleichen herauszufinden, wer der wahrscheinlichste Täter/Sprecher/Autor ist (Kriminologie, Sprachwissenschaft).
• Um den Text eines anonymen Autors zu vergleichen mit Texten von bekannten Autoren und den wahrscheinlichsten Autor zu finden (eine Spielart des zuerst genannten Punktes).
• Datenschürfung (data mining): Große Datenmengen in Datenbanken werden auf unbekannte Strukturen hin analysiert. Man erhofft sich hier Erkenntnisse über das Zusammenwirken verschiedener Aspekte, beispielsweise die Konsumausgaben von Kunden in Abhängigkeit vom sozialen Status durch Herausfinden von Ähnlichkeitsstrukturen.
• Entwicklung von sozialen Abstimmungsprozessen (Politische Soziologie) und der Einfluss einzelner Akteure darauf.
• Kreditwürdigkeitsprüfungen von Schuldnern (Diskriminanzanalyse).
• Bei der Wertpapieranalyse: Welche Unternehmenszahlen beeinflussen hauptsächlich die Ertragskraft eines Unternehmens? (Faktorenanalyse)
• Bei der Suche nach Ursachen für die Eiszeiten (Faktorenanalyse).

Literatur

• Ahrens, H; Läuter, J: Mehrdimensionale Varianzanalyse. Akademie-Verlag, Berlin, 1974, 1981.
• Atteslander, P; Cromm, J; Grabow, B: Methoden der empirischen Sozialforschung. 11. Aufl., Gruyter-Verlag, 2006, ISBN 3503097406 (Grundlagenwissen)
• Backhaus, K; Erichson, B; Plinke, R: Multivariate Analysemethoden. Eine anwendungsorientierte Einführung. 11. Aufl., Springer, Berlin 2006, ISBN 3-540-27870-2
• Coxon, APM; Davies, PM: The User's Guide to Multidimensional Scaling. Heinemann Educational Books, London 1982, ISBN 0435822519 und ISBN 0435822527
• Daly, F et al.: Elements of Statistics. FT Prentice Hall, Harlow 1994, ISBN 0201422786
• Fahrmeir, L; Tutz, G: Multivariate Statistical Modelling Based on Generalized Linear Models. 2nd ed., Springer, New York 2001, ISBN 0387951873
• Krzanowski, WJ: Principles of Multivariate Analysis, Oxford University Press, rev. ed. 2000.
• Mardia, KV; Kent, JT; Bibby, JM: Multivariate Analysis. (Probability and Mathematical Statistics). Elsevier Limited, 2006, ISBN 0124712525
• Tabachnick, B; Fidell, L: Using Multivariate Statistics, 5. Auflage, Allyn & Bacon, Boston 2006, ISBN 0205459382

Links

• Rößler, Irene / Ungerer, Albrecht: Formelsammlung zu den multivariaten Verfahren
• StatSoft, Inc. (2007). Electronic Statistics Textbook. Tulsa, OK: StatSoft. WEB: http://www.statsoft.com/textbook/stathome.html. - (englisch), sehr umfangreiche Darstellung der wichtigsten Multivariaten Analyseverfahren