Armstrong-Zahl

Die narzisstischen Zahlen sind eine ganze Gruppe von Zahlen, die durch bestimmte Rechenvorschriften ihrer Ziffern sich selbst erzeugen. Sie spielen in der reinen Mathematik allerdings keine besondere Rolle, da sie stark vom verwendeten Zahlensystem (in der Regel also vom Dezimalsystem) abhängen und somit keinen echten wissenschaftlichen Nutzen bringen.

Pluperfect digital invariants (auch Armstrong-Zahlen)

n	n-narzisstische Zahlen(PPDI)
3	153, 370, 371, 407
4	1634, 8208, 9474
5	54748, 92727, 93084
6	548834
7	1741725, 4210818, 9800817, 9926315
8	24678050, 24678051, 88593477
9	146511208, 472335975, 534494836, 912985153
10	4679307774

Die PPDI sind narzisstische Zahlen, deren Summe ihrer Ziffern, potenziert mit der Stellenanzahl der Zahl, wieder die Zahl selbst ergibt (Folge A005188 in OEIS). Eine Zahl $a = 10^n\cdot a_n+10^{n-1}\cdot a_{n-1}+10^{n-2}\cdot a_{n-2}+\cdots +10^0\cdot a_0$, $0 \le a_i < 10$, $0 \le i \le n$, ist eine PPDI, wenn gilt $a_0^n + a_1^n + a_2^n + \cdots + a_n^n = a$.

Beispiel

Ein Beispiel für eine solche Zahl mit der Potenz n=5 ist 54748:

54748 = 5⁵ + 4⁵ + 7⁵ + 4⁵ + 8⁵ = 3125 + 1024 + 16807 + 1024 + 32768

115.132.219.018.763.992.565.095.597.973.971.522.401 ist mit 39 Stellen die größte narzisstische Zahl im Dezimalsystem. Es gibt insgesamt genau 88 narzisstische Zahlen dieser Variante. Es kann keine Narzisstische Zahl dieser Variante mit mehr als 60 Stellen geben.

Narzisstische Zahlen mit steigender Potenz

Sind Zahlen, deren Summe ihrer Ziffern, potenziert mit deren Stelle in der Zahl, die Zahl selbst ergibt. Also eine Zahl abc = a¹ + b² + c³. Dabei ist die Anzahl der Stellen nicht auf 3 beschränkt. Es gibt zum Beispiel auch 9- und mehrstellige narzisstische Zahlen.

Beispiel

2427 = 2¹ + 4² + 2³ + 7⁴ = 2 + 16 + 8 + 2401

Folgende Zahlen sind in diesem Sinne narzisstisch: 89, 135, 175, 518, 598, 1306, 1676, 2427, 2646798, ... (Folge A032799 in OEIS)

Narzisstische Zahlen mit konstanter Basis

sind Zahlen, bei denen die Basis konstant ist und die Exponenten den Ziffern der Zahl entsprechen.

Beispiel

4624 = 4⁴ + 4⁶ + 4² + 4⁴ = 256 + 4096 + 16 + 256

Wilde narzisstische Zahlen

sind Zahlen deren Art, auf die sie sich selbst aus ihren Ziffern erzeugen, nicht einheitlich ist.

Beispiel

24739 = 2⁴ + 7! + 3⁹ = 16 + 5040 + 19683

Interessante Zahlen

sind noch freier als die wilden narzisstischen Zahlen bei ihrer Erzeugung:

Beispiele

$3456 = 3! \cdot \frac{4}{5} \cdot 6!$

$355 = 3 \cdot 5! - 5$

Siehe auch

• Fröhliche Zahl
• Glückliche Zahl

Literatur

• "The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers", David Wells, ISBN 0-14-026149-4

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Narzisstische Zahl auf MathWorld (englisch)
• Folge A032799 in OEIS
• Prüfung auf narzisstische Zahlen in C# auf .NET-Snippets.de
• narzisstische Zahlen