Zielbereich

Zielbereich

Im Kontext einer mathematischen Funktion f : A \to B, welche Elemente einer Menge A auf Elemente einer Menge B abbildet, bezeichnet man B als Zielmenge[1] oder Wertevorrat[2][3] der Funktion.

Häufig wird dafür auch das Wort Wertemenge[4] oder Wertebereich[3][5] benutzt; diese Wörter bezeichnen aber oft stattdessen die Bildmenge[6] von f. Es besteht also Verwechslungsgefahr. Die Zielmenge ist nur der Vorrat für mögliche Werte von f – es ist nicht zwingend erforderlich, dass diese auch tatsächlich alle durch f angenommen werden.

Die Menge der Werte, die als Funktionswert von f erscheinen, ist die Bildmenge. Ist die Bildmenge von f gleich der Zielmenge von f, so heißt f surjektiv.

Die Zielmenge ist ein unterscheidender Bestandteil einer Funktion. Funktionen mit gleichem Definitionsbereich und gleicher Funktionsvorschrift, aber verschiedener Zielmenge, können niemals gleich sein.

Beispiel

Die Funktion f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} ordne jedem Punkt der euklidischen Ebene seinen Abstand vom Nullpunkt zu. Es gilt also:

f(a,b) = \sqrt{a^2+b^2}

Die Zielmenge der Funktion ist \mathbb{R}, die Menge der reellen Zahlen. Da der Abstand nie negativ sein kann, werden nicht alle möglichen Werte angenommen. Die Bildmenge besteht genau aus den nichtnegativen reellen Zahlen (oft mit \mathbb{R}_0^+ bezeichnet).

Die Funktion g : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}_0^+ mit g(a,b) := \sqrt{a^2+b^2} hat denselben Definitionsbereich, dieselbe Funktionsvorschrift und dieselbe Bildmenge wie f. Da aber die Zielmengen verschieden sind, gilt trotzdem f \ne g.

Zusammenstellung der verschiedenen Mengen

Eine Funktion von A nach B.

Anhand der nebenstehenden einfachen Beispielfunktion sollen noch einmal die verschiedenen auftretenden Mengen erklärt werden:

  • Die Definitionsmenge (A) enthält die Elemente 1, 2, 3, 4.
  • Die Zielmenge (B) enthält die Elemente a, b, c, d.
  • Die Bildmenge besteht aus den Elementen b, c, d. Nur diese drei werden als Funktionswerte verwendet.
  • Definitionsbereich ist ein anderes Wort für Definitionsmenge.
  • Wertevorrat ist ein anderes Wort für Zielmenge.
  • Wertemenge und Wertebereich sind in ihrer Bedeutung nicht eindeutig festgelegt und können die Zielmenge oder auch die Bildmenge bezeichnen.

Einzelnachweise

  1. Harro Heuser, Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 8. Auflage, B. G. Teubner, Stuttgart 1990. ISBN 3-519-12231-6. S 104
  2. G. Wittstock Vorlesungsskript zu Analysis 1 Wintersemester 2000-2001. Bezeichnung 1.3.3, S. 19
  3. a b Reinhard Dobbener: Analysis. Oldenbourg Wissenschaftsverlag 2007, ISBN 3486579991. S 12, Definition 1.12
  4. Andreas Gathmann: Vorlesung Grundlagen der Mathematik (WS 2007/08 und SS 2008) Kapitel 1 Etwas Logik und Mengenlehre Seite 9, Definition 1.14
  5. Michael Ruzicka: Analysis I. Vorlesung vom Wintersemester 2004/2005. S 21
  6. Harro Heuser, Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 8. Auflage, B. G. Teubner, Stuttgart 1990. ISBN 3-519-12231-6. S 106

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