Jacobi-Polynome

Jacobi-Polynome

Die Jacobi-Polynome, auch hypergeometrische Polynome sind eine Menge orthogonaler Polynome im Intervall -1..1 mit der Gewichtungsfunktion (1 − z)α(1 + z)β, mit α, β > -1. Sie sind benannt nach dem Mathematiker Carl Gustav Jacob Jacobi und bilden die Lösung der Jacobi-Differentialgleichung. Die Polynome haben die Form


P_n^{(\alpha,\beta)} (z) = 
\frac{\Gamma (\alpha+n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha+\beta+n+1)}
\sum_{m=0}^n {n\choose m}
\frac{\Gamma (\alpha + \beta + n + m + 1)}{\Gamma (\alpha + m + 1)} \left(\frac{z-1}{2}\right)^m,

oder mit der hypergeometrische Funktion 2F1 die Gestalt


P_n^{(\alpha,\beta)} (z) = 
 {n+\alpha\choose n} \,_2F_1\left(-n,1+n+\alpha+\beta;\alpha+1;\frac{1-z}{2}\right).

Der Wert für z=1 ist

P_n^{(\alpha, \beta)} (1) = {n+\alpha\choose n}.

Sie haben die Symmetriebeziehung

P_n^{(\alpha, \beta)} (-z) = (-1)^n P_n^{(\beta, \alpha)} (z)\,

woraus sich der Wert für z=-1 ergibt:

P_n^{(\alpha, \beta)} (-1) = (-1)^n { n+\beta\choose n} .

Ableitungen

Die k-te Ableitung ist


\frac{\mathrm d^k}{\mathrm d z^k}
P_n^{(\alpha,\beta)} (z) = 
\frac{\Gamma (\alpha+\beta+n+1+k)}{2^k\; \Gamma (\alpha+\beta+n+1)}
P_{n-k}^{(\alpha+k, \beta+k)} (z) .

Spezialfälle

Einige wichtige Polynome können als Spezialfälle der Jacobi-Polynome betrachtet werden:

Referenzen


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