Jacobi-Polynom

Die Jacobi-Polynome (nach Carl Gustav Jacob Jacobi), auch hypergeometrische Polynome sind eine Menge polynomieller Lösungen des Sturm-Liouville-Problems, die einen Satz orthogonaler Polynome bilden, und zwar auf dem Intervall [-1,1] bezüglich der Gewichtungsfunktion (1 − x)^α(1 + x)^β, mit α, β > -1. Sie haben die explizite Form^[1]

$P_n^{(\alpha,\beta)} (x) = \frac{\Gamma (\alpha+n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha+\beta+n+1)} \sum_{m=0}^n {n\choose m} \frac{\Gamma (\alpha + \beta + n + m + 1)}{\Gamma (\alpha + m + 1)} \left(\frac{x-1}{2}\right)^m,$

oder mit Hilfe der hypergeometrische Funktion ₂F₁:

$P_n^{(\alpha,\beta)} (x) = {n+\alpha\choose n} \,_2F_1\left(-n,1+n+\alpha+\beta;\alpha+1;\frac{1-x}{2}\right).$

Rodrigues-Formel

$P_n^{(\alpha,\beta)} (x) = \frac{(-1)^n}{2^n n!}(1-x)^{-\alpha}(1+x)^{-\beta}\frac{d^n}{dx^n}[(1-x)^{\alpha+n}(1+x)^{\beta+n}],~~~\alpha,\beta>-1$

Rekursionsformeln

Man kann die Jacobi-Polynome auch mit Hilfe einer Rekursionsformel bestimmen.

$P_0^{(\alpha,\beta)} (x) =1$

$P_1^{(\alpha,\beta)} (x) =\frac{1}{2}[\alpha-\beta+(\alpha+\beta+2)x]$

$a^1_n P_{n+1}^{(\alpha,\beta)} (x) = (a_n^2+a_n^3x)P_n^{(\alpha,\beta)} (x) -a_n^4P_{n-1}^{(\alpha,\beta)} (x)$

mit den Konstanten:

$a^1_n=2(n+1)(n+\alpha+\beta+1)(2n+\alpha+\beta)$

$a^2_n=(2n+\alpha+\beta+1)(\alpha^2-\beta^2)$

$a^3_n=(2n+\alpha+\beta)(2n+\alpha+\beta+1)(2n+\alpha+\beta+2)$

$a_n^4=2(n+\alpha)(n+\beta)(2n+\alpha+\beta+2)$

Der Wert für x=1 ist

Eigenschaften

$P_n^{(\alpha, \beta)} (1) = {n+\alpha\choose n}=\frac{\Gamma(n+\alpha)}{\Gamma(\alpha)n!}$.

Sie erfüllen folgende Symmetriebeziehung

$P_n^{(\alpha, \beta)} (-x) = (-1)^n P_n^{(\beta, \alpha)} (x)\,$

woraus sich der Wert für x=-1 ergibt:

$P_n^{(\alpha, \beta)} (-1) = (-1)^n { n+\beta\choose n} .$

Sie erfüllen die Orthogonalitätsbedingung

$\int_{-1}^1 (1-x)^{\alpha} (1+x)^{\beta} P_m^{(\alpha,\beta)} (x)P_n^{(\alpha,\beta)} (x) \; dx= \frac{2^{\alpha+\beta+1}}{2n+\alpha+\beta+1} \frac{\Gamma(n+\alpha+1)\Gamma(n+\beta+1)}{\Gamma(n+\alpha+\beta+1)n!} \delta_{nm}.$

Ableitungen

Aus der expliziten Form können die k-ten Ableitungen abgelesen werden. Sie ergeben sich als:

$\frac{\mathrm d^k}{\mathrm d x^k} P_n^{(\alpha,\beta)} (x) = \frac{\Gamma (\alpha+\beta+n+1+k)}{2^k\; \Gamma (\alpha+\beta+n+1)} P_{n-k}^{(\alpha+k, \beta+k)} (x) .$

Nullstellen

Die Eigenwerte der symmetrischen Tridiagonalmatrix

$\begin{pmatrix} a_0 & b_1 & 0 & \dots & 0 \\ b_1 & a_1 & b_2 & \ddots & \vdots \\ 0 & b_2 & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & b_{n-1}\\ 0 & \dots & 0 & b_{n-1} & a_{n-1} \end{pmatrix}$

mit

$a_0 = \frac{\beta-\alpha}{2+\alpha+\beta}$

$a_j = \frac{(\beta-\alpha)(\alpha+\beta)}{(2j+\alpha+\beta)(2j+2+\alpha+\beta)},~~~j=1,\dots,n-1$

$b_j = \sqrt{\frac{4j(j+\alpha)(j+\beta)(j+\alpha+\beta)}{(2j-1+\alpha+\beta)(2j+\alpha+\beta)^2(2j+1+\alpha+\beta)}}$

stimmen mit den Nullstellen von $P_n^{(\alpha,\beta)}$ überein. Somit bietet der QR-Algorithmus die Möglichkeit, die Nullstellen näherungsweise zu berechnen. Weiterhin kann man beweisen, dass sie einfach und im Intervall (-1,1) liegen.

Asymptotische Darstellung

Mit Hilfe der Landau-Symbole lässt sich folgende Formel aufstellen:

$P_n^{(\alpha,\beta)}(cos\theta) = \frac{cos\left(\left[ n+(\alpha+\beta+1)/2 \right] \theta - \left[ 2\alpha+1 \right] \pi/4 \right)} {\sqrt{\pi n}\left[sin(\theta/2)\right]^{\alpha+1/2}\left[cos(\theta/2)\right]^{\beta+1/2}} +\mathcal{O}\left(n^{-3/2}\right),~~~0<\theta<\pi.$

Erzeugende Funktion

Für alle $x \in \mathbb{R}, z \in \mathbb{C}, |z|<1$ gilt

$\sum_{n=0}^\infty P_n^{(\alpha,\beta)}(x) z^n = 2^{\alpha+\beta}[f(x,z)]^{-1}[1-z+f(x,z)]^{-\alpha}[1+z+f(x,z)]^{-\beta},~~~ f(x,z)=\sqrt{1-2xz+z^2}.$

Die Funktion

$z \mapsto 2^{\alpha+\beta}[f(x,z)]^{-1}[1-z+f(x,z)]^{-\alpha}[1+z+f(x,z)]^{-\beta}$

wird daher als erzeugende Funktion der Jacobi-Polynome bezeichnet.

Spezialfälle

Einige wichtige Polynome können als Spezialfälle der Jacobi-Polynome betrachtet werden:

• für α = β = 0: Legendre-Polynome
• Gegenbauer-Polynome
• Tschebyschow-Polynome erster und zweiter Ordnung
• der Radialterm der Zernike-Polynome

Referenzen

1. ↑ Abramowitz, Stegun (1965): Formel 22.3.2 - enthält darüber hinaus umfangreiche Zusatzinformationen und Belege für die weiteren hier genannten Formeln

weiterführende Literatur:

• Eric W. Weisstein: Jacobi Polynomial. In: MathWorld. (englisch)
• Sherwin Karniadakis: Spectral/hp Element Methods for CFD. 1. Auflage. Oxford University Press, New York 1999, ISBN 0-19-510226-6.
• I. S. Gradshteyn, I. M. Ryzhik: Table of Integrals, Series, and Products. 5. Auflage. Academic Press Inc., Boston, San Diego, New York, London, Sydney, Tokyo, Toronto 1994, ISBN 0-12-294755-X.
• Peter Junghanns: EAGLE-GUIDE Orthogonale Polynome. 1. Auflage. Books on Demand, Leipzig 2009, ISBN 3-93-721928-5.