Kriterium von Kummer

Kriterium von Kummer

Das Kummer-Kriterium (nach Ernst Eduard Kummer) ist ein mathematisches Konvergenzkriterium, also Mittel zur Entscheidung, ob eine unendliche Reihe konvergiert.

Das Kriterium von Kummer beinhaltet folgende zwei Aussagen:

Inhaltsverzeichnis

Formulierung

Sei (c_k)_{k\in\N} eine positive reelle Zahlenfolge. Mit dieser wird die Reihe S=\sum_{k=1}^\infty c_k gebildet. Diese Reihe soll auf Konvergenz oder Divergenz untersucht werden.

Konvergenzaussage

Gibt es eine positive reelle Zahlenfolge (\alpha_k)\,, so dass ab einem bestimmten Index \mu\, der Ausdruck

\alpha_{k-1}\,\frac{c_{k-1}}{c_k}-\alpha_k

stets größer oder gleich einer positiven Konstante \theta>0\, ist, dann konvergiert die Reihe S=\sum_{k=1}^\infty c_k .

Divergenzaussage

Gibt es eine positive reelle Zahlenfolge (\alpha_k)\,, so dass

  • die Reihe der reziproken Glieder \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{\alpha_k} divergiert und
  • ab einem bestimmten Index \mu\, der Ausdruck
\alpha_{k-1}\,\frac{c_{k-1}}{c_k}-\alpha_k
stets kleiner gleich Null ist,

dann divergiert die Reihe S=\sum_{k=1}^\infty c_k .

Beweise

Beweis der Konvergenzaussage

Es gelte für alle Indizes k > μ die Abschätzung

0<\theta\le \alpha_{k-1}\,\frac{c_{k-1}}{c_k}-\alpha_k.

Nach dem Durchmultiplizieren mit c_k\, ergibt sich daraus

\theta c_k\le \alpha_{k-1}c_{k-1}-\alpha_k c_k.

Diese Ungleichung lässt sich nun von k=\mu+1\, bis zu einer beliebig großen natürlichen Zahl n>\mu\, nach Art einer Teleskopsumme aufsummieren.


\theta \sum_{k=\mu+1}^n c_k
\le \sum_{k=\mu+1}^n (\alpha_{k-1}c_{k-1}-\alpha_k c_k)
= \alpha_\mu\, c_\mu-\alpha_n c_n

Der letzte Ausdruck ist immer kleiner als \alpha_\mu\, c_\mu, diese Schranke hängt nicht von n\, ab. Also gilt für alle n>\mu\,

\sum_{k=\mu+1}^n c_k\le \frac{\alpha_\mu\, c_\mu}{\theta}

Daher wächst die Folge der Partialsummen S_n=\sum_{k=1}^nc_k ab dem Index \mu\, monoton und ist nach oben beschränkt. Nach dem (Trivial-)Kriterium der monotonen Konvergenz konvergiert somit S=\sum_{k=1}^\infty c_k.

Beweis der Divergenzaussage

Es gelte für alle Indizes k>\mu\, die Abschätzung


\alpha_{k-1}\,\frac{c_{k-1}}{c_k}-\alpha_k\le 0
und damit auch 
\alpha_kc_k\ge\alpha_{k-1}c_{k-1}
.

Durch induktive Verkettung dieser Ungleichungen von k=\mu+1\, bis zu einem beliebig großen Index m>\mu\, ergibt sich

\alpha_m c_m\ge\alpha_\mu c_\mu,

nach weiterem Umstellen

c_m\ge \frac{\alpha_\mu}{\alpha_m}c_\mu.

Wird diese Ungleichung von m=\mu+1\, bis zu einem beliebig großen Index n\, aufsummiert, so folgt

\sum_{m=\mu+1}^n c_m \ge \alpha_\mu c_\mu \sum_{m=\mu+1}^n \frac{1}{\alpha_m}

Letzte Reihe divergiert nach Voraussetzung für n\to\infty. Also divergiert auch S=\sum_{m=1}^\infty c_m nach dem Minorantenkriterium.


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