Kriterium von Dirichlet

Das Kriterium von Dirichlet ist ein mathematisches Konvergenzkriterium. Es gehört zur Gruppe der direkten Kriterien.

• Die Reihe $\sum_{k=1}^{\infty} a_k b_k$ mit $a_k , b_k \, \epsilon \, \mathbb{R}$ konvergiert, wenn $(a_k)_{k\in \N}$ eine monoton fallende Nullfolge ist und die Partialsummen $\sum_{k=1}^{n} b_k$ eine beschränkte Folge bilden.^[1]

Zum Beweis sei $B_n = \sum_{k=0}^n b_k$. Dann gilt offenbar $\sum_{k=0}^n a_k b_k = a_{n+1} B_n + \sum_{k=0}^n B_k (a_k - a_{k+1})$. Der erste Summand konvergiert gegen 0, da B_n voraussetzungsgemäß durch eine Konstante M beschränkt ist und a_n gegen 0 konvergiert. Der zweite Summand konvergiert sogar absolut, denn da $a_k - a_{k+1} \ge 0$ für alle k, ist $\sum_{k=0}^n |B_k (a_k - a_{k+1})| \leq \sum_{k=0}^n M(a_k - a_{k+1}) = M(a_0 - a_{n+1}) \rightarrow Ma_0$. Damit ist alles gezeigt.

Siehe auch

• Kriterium von Abel
• Leibnizkriterium (Spezialfall b_k = ( − 1)^k)

Einzelnachweise

1. ↑ Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis, Teil 1, Verlag Vieweg+Teubner, 16. Auflage, ISBN 3-835-10131-5, Kapitel IV, Satz 33.14