Kriterium von Raabe

Das Raabesche Kriterium (von Joseph Ludwig Raabe) ist ein mathematisches Konvergenzkriterium, also ein Mittel zur Entscheidung, ob eine unendliche Reihe konvergent oder divergent ist.

Formulierung

1.Version

Sei eine unendliche Reihe

$S = \sum_{n=0}^\infty a_n \,$

mit positiven reellen Summanden a_n gegeben, die eine monoton fallende Folge bilden.

Dann ist S konvergent, falls die Folge

$\left[\frac{a_{n+1}}{a_n}-1\right]n \,$

nach oben durch ein −α < −1 beschränkt ist. Sind alle Glieder dieser Folge größer als −1, so ist S divergent.

2.Version

Sei eine unendliche Reihe

$S = \sum_{n=0}^\infty a_n \,$

gegeben.

Dann ist S absolut konvergent, falls für eine Zahl $\,\beta>1$ fast immer (d.h. für $n\geq n_0$) gilt

$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\leq1-\frac{\beta}{n} \,$.

Sie divergiert jedoch, wenn fast immer $\frac{a_{n+1}}{a_n}\geq1-\frac{1}{n}$ ausfällt.

Anmerkungen

Wie immer bei der Betrachtung des Konvergenzverhaltens von Reihen muss dieses Kriterium nur für fast alle Indizes erfüllt sein. Durch Umstellen führt das Kriterium auf eine Abschätzung von S durch

$T = \sum_{n=0}^\infty b_n \,$

nach dem Majorantenkriterium, wobei T die Teleskopreihe mit b_n = c_n − c_{n + 1} über der Nullfolge $c_n=\frac{n-1}{\alpha-1}a_n$ ist.

Mit obigem ergibt sich eine Reihenrestabschätzung

$S-S_N=\sum_{n=N+1}^\infty a_n\le\frac{N}{\alpha-1}a_{N+1} \,$.

Anwendbarkeit

Diese Kriterien sind schwerer anzuwenden als das Wurzelkriterium bzw. Quotientenkriterium, liefern jedoch in dort ungewissen Fällen oft noch Konvergenzaussagen. Sie werden z. B. angewandt, um bei Potenzreihen das Verhalten auf dem Rand des Konvergenzbereichs zu bestimmen.

Siehe auch

• Kriterium von Gauß

Literatur

• Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. Springer 1996 (6. Aufl.), ISBN 3-540-59111-7