Nichtkommutatives Polynom

Nichtkommutative Polynome stellen eine Verallgemeinerung der Polynome dar, derart dass verschiedene Variablen nicht kommutieren.

Definition

Sei $\mathcal{X}$ eine Menge und $W(\mathcal{X})$ das freie Monoid über $\mathcal{X}$. (Dann ist $W(\mathcal{X}) = \{ x_1 \cdots x_n | x_i \in \mathcal{X}, \; n \ge 1 \} \cup \{ 1 \}$) Sei R ein Ring. Der nichtkommutative Polynomring über R ist definiert als

$R \langle \mathcal{X} \rangle := \{ \sum_{x \in W(\mathcal{X})} r_w w | r_w \in R, \; r_w = 0 \; \operatorname{f\ddot{u}r} \text{ fast alle } w \} \cong \bigoplus_{w \in W(\mathcal{X})} R$

Die Addition auf $R \langle \mathcal{X} \rangle$ wird komponentenweise, die Multiplikation als Faltung

$\sum_w a_w w \cdot \sum_w b_w w := \sum_w (\sum_{uv=w} a_u b_v) w$

definiert.

Eigenschaften

• Für endliche Mengen $\mathcal{X} = \{ X_1 , \ldots , X_n \}$ schreibt man $R \langle X_1, \ldots, X_n \rangle$ .
• $R \langle X \rangle = R [X]$ für eine Variable X
• $R \langle \mathcal{X} \rangle / [R \langle \mathcal{X} \rangle , R \langle \mathcal{X} \rangle ] = R [\mathcal{X}]$

Siehe auch

• Polynom
• nichtkommutative Potenzreihe