Nichtkommutative Potenzreihe

Nichtkommutative Potenzreihen stellen eine Verallgemeinerung der formalen Potenzreihen dar, derart dass verschiedene Variablen nicht kommutieren.

Definition

Sei $\mathcal{X}$ eine Menge und $W(\mathcal{X})$ das freie Monoid über $\mathcal{X}$. (Dann ist $W(\mathcal{X}) = \{ x_1 \cdots x_n | x_i \in \mathcal{X}, \; n \ge 1 \} \cup \{ 1 \}$) Sei R ein Ring. Der nichtkommutative Potenzreihenring über R ist definiert als

$R \langle \langle \mathcal{X} \rangle \rangle := \{ \sum_{x \in W(\mathcal{X})} r_w w | r_w \in R \}\cong \prod_{w \in W(\mathcal{X})} R$

Die Addition auf $R \langle \langle \mathcal{X} \rangle \rangle$ wird komponentenweise, die Multiplikation als Faltung

$\sum_w a_w w \cdot \sum_w b_w w := \sum_w (\sum_{uv=w} a_u b_v) w$

definiert.

Eigenschaften

• Für endliche Mengen $\mathcal{X} = \{ X_1 , \ldots , X_n \}$ schreibt man $R \langle \langle X_1, \ldots, X_n \rangle \rangle$ .
• $R \langle \langle X \rangle \rangle = R [[X]]$ für eine Variable X
• $R \langle \langle \mathcal{X} \rangle \rangle / [R \langle \langle \mathcal{X} \rangle \rangle , R \langle \langle \mathcal{X} \rangle \rangle ] = R [[\mathcal{X}]]$

Siehe auch

• nichtkommutatives Polynom