Ogdens Lemma

Ogdens Lemma ist eine Methode der theoretischen Informatik, mit der gezeigt werden kann, dass eine formale Sprache keine kontextfreie Sprache ist, da sie Eigenschaften beschreibt, die für alle kontextfreien Sprachen gelten müssen. Es liefert somit nur eine notwendige (keine hinreichende) Bedingung für die Klassifikation als kontextfreie Sprache, ist also nicht geeignet, die Kontextfreiheit zu beweisen.

Das Pumping-Lemma ist ein Spezialfall des Lemmas Ogdens.

Annahmen

Sei $\mathcal{L}_2$ die Klasse aller Sprachen, die sich von Chomsky-Hierarchie-Typ-2-Grammatiken erzeugen lassen, also die Klasse der kontextfreien Sprachen.

Aussage

Sei L eine kontextfreie Sprache, also $L \in \mathcal{L}_2$. Dann gibt es eine natürliche Zahl $n \in \mathbb{N}$, so dass für alle Wörter $z \in L$ folgendes gilt: Wenn in z mindestens n Buchstaben markiert werden, so lässt sich z als z in fünf Teile u,v,w,x,y zerlegen, so dass

1. vx mindestens einen markierten Buchstaben enthält,
2. vwx maximal n markierte Buchstaben enthält,
3. $\forall i \ge 0: uv^iwx^iy \in L$.

Beispiel

Die Sprache $L = \{a^ib^jc^kd^{\ell}\ |\ i\neq 0\ \Rightarrow\ j=k=\ell\}$ ist nicht kontextfrei.

Der Nachweis, dass L nicht kontextfrei ist, kann nicht mit dem Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen geführt werden, aber mit Ogdens Lemma.

Beweis durch Widerspruch: Wir nehmen an, L sei kontextfrei. Dann existiert nach Ogdens Lemma eine Konstante n, so dass für jedes Wort $z\in L$ und jede Markierung, die mindestens n Zeichen in z markiert, eine Zerlegung existiert, die die Eigenschaften 1., 2. und 3. erfüllt.

Die Konstante sei also n und insbesondere für das Wort $z=ab^nc^nd^n\in L$ mit Markierung auf dem Teil bⁿ muss es eine Zerlegung z = uvwxy geben, die 1., 2. und 3. erfüllt.

Eigenschaft 1. bedeutet, dass vx mindestens ein b enthält. Eigenschaft 2. ist stets erfüllt, da es nur n markierte Buchstaben in z gibt. Wir betrachten alle möglichen (nicht notwendig disjunkten) Fälle der Zerlegung mit mindestens einem b in vx und finden stets einen Widerspruch zu Eigenschaft 3.

• $vx\in\{a,b,c\}^*$, dann folgt, dass uv²wx²y mehr bs als ds hat (und mindestens ein a steht am Anfang des aufgepumpten Worts)
• $vx\in\{a,b,d\}^*$, dann enthält uv²wx²y mehr bs als cs (und mindestens ein a steht am Anfang des aufgepumpten Worts)
• vx enthält sowohl cs als auch ds, dann müssen in v oder in x zwei Sorten Buchstaben vorkommen. Dann entspricht aber die Struktur von uv²wx²y nicht mehr der Form a ^* b ^* c ^* d ^* .

Wir führen also Eigenschaft 3. stets mit i = 2 zum Widerspruch, da das Wort uv²wx²y nicht in L liegt.

Quellen

• William Ogden: A helpful result for proving inherent ambiguity. In: Mathematical Systems Theory. 2, Springer Science & Business Media, Dordrecht 1968. ISSN 0025-5661. S. 191–194.