Ohm'sches Gesetz

Als ohmsches Gesetz (benannt nach seinem Entdecker Georg Simon Ohm) wird der bei bestimmten elektrischen Leitern vorliegende lineare Zusammenhang zwischen Spannungsabfall U und hindurchfließendem elektrischen Strom I bezeichnet. Mathematisch wird diese Proportionalität als

$U \sim I\$

(lies: U ist proportional zu I ) formuliert. Die Proportionalitätskonstante wird dabei ohmscher Widerstand benannt und normgerecht mit dem Formelzeichen R bezeichnet, womit sich die Gleichung

$U = R \cdot I$

ergibt. Um die Proportionalität von Spannung und Stromstärke bei konstantem Widerstand zu betonen, schreibt man auch

$R = \frac{U}{I} = \mathrm{const.}$

Der ohmsche Widerstand ist ein wichtiger Sonderfall des allgemeineren elektrischen Widerstandes.

Mikroskopische Betrachtungsweise/​maxwellsche Materialgleichung

In einer mikroskopischen Betrachtung wird das ohmsche Gesetz durch den linearen Zusammenhang zwischen dem Stromdichte-Vektorfeld $\mathbf{\vec J}_m$ und dem elektrischen Feldstärke-Vektorfeld $\mathbf{\vec E}_n$ beschrieben, also

$\mathbf{\vec{J}}_m = \mathbf{\sigma}_{mn} \, \mathbf{\vec{E}}_n\,.$

In isotropen Materialien kann der Tensor σ_mn durch einen Skalar ersetzt werden, und es gilt:

$\vec J = \mathbf{\sigma}\,\vec{E}\,.$

Wenn man die Bewegung freier Elektronen wie die ungeordnete Molekülbewegung eines Gases betrachtet, kann man Konstanz der elektrischen Leitfähigkeit plausibel machen. Die Zähldichte n der Elektronen ist dann innerhalb des Leiters konstant. Die mittlere Geschwindigkeit $\bar v$ der Elektronen ist

$\bar v=10{,}6\cdot 10^6\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\,.$

Die mittlere Wegstrecke λ zwischen zwei Stößen an Ionen im Metall wird in einer typischen Zeit τ_s zurückgelegt:

$\lambda=\bar{v}\,\tau_s\,.$

In dieser Zeit erfahren die Elektronen eine Beschleunigung a durch das angelegte elektrische Feld mit

$a=\frac{e\,E}{m_e}\,,$

wobei e die Elementarladung und m_e die Elektronenmasse ist. Die Elektronen erreichen somit eine Driftgeschwindigkeit v_d mit v_d = aτ_s. Setzt man dieses in die Gleichung für σ ein, so erhält man:

$\sigma = \frac{J}{E} = \frac{n\,e\,v_d}{E} = \frac{n\,e\,a\,\tau_s}{E} = \frac{n\,e^2\tau_s}{m_e} = \frac{n\,e^2\lambda}{m_e\,\bar v}\,.$

Die Größen λ und $\bar v$ hängen nur von der Geschwindigkeitsverteilung innerhalb der „Elektronenwolke“ ab. Da die Driftgeschwindigkeit aber ca. 10 Größenordnungen kleiner ist als die mittlere Geschwindigkeit $\bar v$, ändert sich die Geschwindigkeitsverteilung durch das Anlegen eines elektrischen Feldes nicht, und λ und τ_s und somit der ganze Ausdruck für σ sind konstant.

Weblinks

• Übungsaufgaben zum ohmschen Gesetz
• Berechnungen – Das ohmsche Gesetz und das magische Dreieck