Optische Fouriertransformation

Die Fourieroptik (nach Jean Baptiste Joseph Fourier) ist ein Teilbereich der Optik, in dem die Ausbreitung von Licht mit Hilfe der Fouriertransformation untersucht wird. Die Fourieroptik berücksichtigt die Wellennatur des Lichtes, vernachlässigt aber z. B. die Polarisation.

Hintergrund

Der Ursprung der Fourieroptik ist die Feststellung, dass das Fraunhofer-Beugungsmuster der Fouriertransformierten des beugenden Objekts entspricht. Fällt kohärentes Licht mit der räumlichen Amplitudenverteilung E_e auf eine Struktur mit der räumlichen Transmissionsverteilung τ, so ist die Feldverteilung unmittelbar hinter der beugenden Struktur

$E_t = E_e \cdot \tau.$

Im Fernfeld der Struktur gilt für die Amplitudenverteilung E

$E(x,y) = A(x,y,z_0)\cdot \int \limits_{-\infty}^{\infty} E_t(x',y')\cdot \operatorname{e}^{-i2\pi(xx'+yy')/(\lambda z_0)}\mathrm{d}x'\mathrm{d}y'.$

z₀ ist der Abstand von der beugenden Struktur, x,y sind die transversalen Koordinaten. A ist ein Phasenfaktor. Analog zur Frequenz bei der zeitlichen Fouriertransformation, definiert man als Raumfrequenzen ν_x,ν_y

$\nu_x := \frac{x}{\lambda z_0} \quad \nu_y := \frac{y}{\lambda z_0},$

so folgt

$E(x,y) = A(x,y,z_0)\cdot \int \limits_{-\infty}^{\infty} E_t(x',y')\operatorname{e}^{-i2\pi(\nu_x x'+\nu_y y')}\mathrm{d}x'\mathrm{d}y'.$

Die Feldverteilung im Fernfeld ist also durch die zweidimensionale Fouriertransformierten der Feldverteilung unmittelbar hinter der beugenden Struktur E_t gegeben:

$E = A \cdot \mathcal{F} \left[E_t \right] \left(\nu_x,\nu_y\right).$

Bedeutung der Raumfrequenzen

Ein Strahl vom Punkt (x,y,z₀) in der Beobachtungsebene bis zum Punkt (0,0,0) in der Ebene der beugenden Struktur schließt mit der z-Achse die Winkel tan(α) = x / z₀ und tan(β) = y / z₀ ein. Für nicht zu große Winkel (also für nicht zu große x,y) folgt hieraus:

$\alpha \approx \frac{x}{z_0} = \lambda \nu_x \qquad \beta \approx \frac{y}{z} = \lambda \nu_y.$

Licht, welches im Fernfeld nah der optischen Achse liegt entspricht also niedrigen Raumfrequenzen, während weiter außen liegendes Licht zu hohen Raumfrequenzen gehört.

Feine Strukturen im Objekt, also solche die sich räumlich schnell ändern, gehören zu hohen Raumfrequenzen. Gröbere Strukturen stellen entsprechend kleinere Raumfrequenzen dar.

Literatur

• Joseph W. Goodman: Introduction to Fourier optics. 3rd ed. Englewood, Colo. : Roberts & Co., c2005. ISBN 0974707724
• Wolfgang Stößel: Fourieroptik : eine Einführung. Berlin [u.a]: Springer, 1993. ISBN 3-540-53287-0

Siehe auch

• Beugungsintegral