P-adischer Betrag

Für jede Primzahl p bilden die p-adischen Zahlen einen Erweiterungskörper $\Bbb Q_p$ der rationalen Zahlen; sie wurden 1897 erstmals von Kurt Hensel beschrieben. Diese Körper werden benutzt, um Probleme in der Zahlentheorie zu lösen, oftmals unter Verwendung des lokal-global-Prinzips von Helmut Hasse, welches vereinfacht gesprochen aussagt, dass eine Gleichung genau dann über den rationalen Zahlen $\Bbb Q$ gelöst werden kann, wenn sie über den reellen Zahlen $\R$ und allen $\Bbb Q_p$ gelöst werden kann (was aber nicht so allgemein zutrifft, für die genaue Bedeutung siehe dort). Als metrischer Raum ist $\Bbb Q_p$ vollständig, und erlaubt so die Entwicklung einer p-adischen Analysis analog zur reellen Analysis.

Motivation

Ist p eine fest gewählte Primzahl, dann kann jede ganze Zahl in einer p-adischen Entwicklung geschrieben werden (man sagt, die Zahl wird „zur Basis p geschrieben“, siehe auch Stellenwertsystem) der Form

$\pm\sum_{i=0}^n a_i \cdot p^i$ (1)

wobei die a_i Zahlen aus {0,1,...,p − 1} sind. So ist etwa die 2-adische Entwicklung gerade die Binärdarstellung; zum Beispiel schreibt man

$35 \;=\; 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 \;=\; 100011_2$.

Die bekannte Verallgemeinerung dieser Beschreibung auf größere Zahlmengen (rationale und reelle) ist die Zulassung unendlicher Summen am unteren Ende, d.h. der folgenden Form:

$\pm\sum_{i=-\infty}^n a_i \cdot p^i$ (2)

Diese Reihen sind konvergente Partialsummenfolgen bezüglich des gewöhnlichen Absolutbetrags. Zum Beispiel ist 0,13131313...₅ die p-adische Darstellung von 1/3 zur Basis 5. In diesem System sind die ganzen Zahlen genau diejenigen, für die a_i = 0 ist für alle i < 0.

Alternativ könnte man die Summen am anderen Ende ins Unendliche verlängern, und Reihen dieser Form erhalten:

$\sum_{i=k}^\infty a_i \cdot p^i$ (3)

wobei k eine beliebige ganze Zahl ist. Auf diese Weise erhalten wir den Körper $\Bbb Q_p$ der p-adischen Zahlen. Diejenigen p-adischen Zahlen, für die a_i = 0 für alle i < 0 ist, heißen p-adische ganze Zahlen. Analog zur gewöhnlichen p-adischen Entwicklung kann man diese Reihen als (nach links unendlich fortgesetzte) Ziffernfolge schreiben:

$... + 2\cdot 5^4 + 3\cdot 5^3 + 2\cdot 5^2 + 3\cdot 5^1 + 2\cdot 5^0 + 3\cdot 5^{-1} = ...23232{,}3_5$

Anschaulich besteht also die gewöhnliche p-adische Entwicklung aus Summen, die sich nach rechts fortsetzen mit immer kleineren (negativen) Potenzen von p, und die p-adischen Zahlen haben Entwicklungen, die sich nach links fortsetzen mit immer größeren p-Potenzen.

Mit diesen „formalen Laurentreihen in p“ kann man rechnen wie mit den gewöhnlichen p-adischen Entwicklungen reeller Zahlen: Addition von rechts nach links mit Übertrag, Multiplikation nach Schulmethode. Beachten muss man nur, dass sich Überträge ins Unendliche fortsetzen können, beispielsweise ergibt die Addition von ...44444₅ und 1₅ die Zahl 0₅. Das fehlende Vorzeichen ist also tatsächlich nicht nötig, da auch alle negativen Zahlen eine p-adische Darstellung haben. Damit lässt sich auch die Subtraktion nach Schulmethode von rechts nach links durchführen, unter Umständen mit einem unendlich oft auftretenden „Borgen“ (man versuche es bei 0₅-1₅=...4444₅). Die Division dagegen wird im Gegensatz zur Schulmethode auch von rechts nach links durchgeführt, dadurch wird das Ergebnis nach links fortgesetzt, falls die Division nicht „aufgeht“.

Ein technisches Problem ist nun, ob diese Reihen überhaupt sinnvoll sind, d.h. ob sie in irgendeinem Sinne konvergieren. Zwei Lösungen dafür werden nun vorgestellt.

Konstruktion

Analytische Konstruktion

Die reellen Zahlen können konstruiert werden als Vervollständigung der rationalen Zahlen. Sie werden dabei aufgefasst als Äquivalenzklassen von rationalen Cauchy-Folgen. Dies erlaubt uns zum Beispiel, die Zahl 1 als 1,000... zu schreiben, oder als 0,999... - es ist 1,000... = 0,999... in $\R$.

Jedoch hängt bereits die Definition einer Cauchy-Folge von der verwendeten Metrik ab, und indem man statt der üblichen euklidischen Metrik, die vom Absolutbetrag erzeugt wird, eine andere Metrik benutzt, erhält man andere Vervollständigungen anstelle der reellen Zahlen.

p-adischer Betrag

Für eine fest vorgegebene Primzahl p definieren wir den p-adischen Betrag auf $\Bbb Q$: Jede rationale Zahl x außer 0 lässt sich schreiben als x = pⁿ(a / b) mit einer eindeutigen ganzen Zahl n und zwei ganzen Zahlen a, b, die beide nicht durch p teilbar sind. Wir setzen dann $|x|_p \,:=p^{-n}$ und $|0|_p\,:=0$. Dies ist ein nichtarchimedischer Betrag.

Zum Beispiel ist $x=63/550=2^{-1}\cdot 3^2\cdot 5^{-2}\cdot 7\cdot 11^{-1}$, damit ist

| x | ₂ = 2, | x | ₃ = 1 / 9, | x | ₅ = 25, | x | ₇ = 1 / 7, | x | ₁₁ = 11

| x | _p = 1 für jede andere Primzahl p

Durch diese Definition des Betrags | x | _p werden große Potenzen von p „betragsmäßig klein“. Mit diesem Betrag mit den p-adischen Zahlen wird ein diskreter Bewertungsring definiert.

p-adische Metrik

Die p-adische Metrik d_p auf $\Bbb Q$ definiert man nun so: (Leutbecher, 1996, S. 118f)

d_p(x,y) = | x − y | _p

Damit ist beispielsweise die Folge (1,5,5²,5³,5⁴,...) in $\Bbb Q$ bezüglich der 5-adischen Metrik eine Nullfolge, wohingegen die Folge (1,¹ / ₂,¹ / ₄,¹ / ₈,...) beschränkt, aber keine Cauchy-Folge ist, denn für jedes n ist

d₅(1 / 2ⁿ,1 / 2^{n + 1}) = | 1 / 2^{n + 1} | ₅ = 1

Die Vervollständigung des metrischen Raums $(\Bbb Q,d_p)$ ist der metrische Raum $\Bbb Q_p$ der p-adischen Zahlen; er besteht aus Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen, wobei zwei Cauchy-Folgen äquivalent heißen, wenn die Folge ihrer punktweisen p-adischen Abstände eine Nullfolge ist. Auf diese Weise erhalten wir einen vollständigen metrischen Raum, der (durch die wohldefinierten komponentenweisen Verknüpfungen der Cauchy-Folgen-Äquivalenzklassen) außerdem ein Körper ist, in dem $\Bbb Q$ enthalten ist.

Da die so definierte Metrik eine Ultrametrik ist, konvergieren Reihen bereits dann, wenn die Summanden eine Nullfolge bilden. In diesem Körper sind also die oben erwähnten Reihen der Form

$\sum_{i=k}^\infty a_i \cdot p^i$ (3)

sofort als konvergent zu erkennen, falls k eine ganze Zahl ist und die a_i in {0,1,...,p − 1} liegen. Man kann zeigen, dass sich jedes Element von $\Bbb Q_p$ als Grenzwert genau einer solchen Reihe darstellen lässt.

Algebraische Konstruktion

Hier wird zuerst der Ring der p-adischen ganzen Zahlen definiert, und danach dessen Quotientenkörper $\Bbb Q_p$.

Wir definieren $\Z_p$ als projektiven Limes der Ringe $\Bbb Z/p^n\Bbb Z$ (siehe Restklassenkongruenz): Eine p-adische ganze Zahl ist dann eine Folge (a_n) von Restklassen a_n aus $\Bbb Z/p^n\Bbb Z$, wobei gilt:

$1\le n&amp;lt;m \Rightarrow a_n \equiv a_m \pmod{p^n}$

Jede ganze Zahl m definiert eine Folge $m+p^n\mathbb Z$ und kann daher als Element von $\Z_p$ aufgefasst werden.(Leutbecher, 1996, S. 117f)

Die komponentenweise definierte Addition und Multiplikation ist wohldefiniert, da Addition und Multiplikation ganzer Zahlen mit der Restklassenbildung vertauschbar ist. Damit hat jede p-adische ganze Zahl (a_n) die negative Zahl (pⁿ − a_n), und jede Zahl deren erste Komponente a₁ nicht 0 ist, hat ein Inverses, denn in dem Fall sind alle a_n zu pⁿ teilerfremd, haben also ein Inverses b_n modulo pⁿ, und die Folge (b_n) (welche die Kongruenzeigenschaft des projektiven Limes hat) ist dann die Inverse zu (a_n).

Jede p-adische Zahl kann auch als Reihe der oben beschriebenen Form (3) dargestellt werden, dabei sind die Partialsummen gerade die Komponenten der Folge. Zum Beispiel kann man die 3-adische Folge (2,8,8,35,35,35,...) auch schreiben als $2+2\cdot 3+0\cdot 3^2+1\cdot 3^3+0\cdot 3^4+0\cdot 3^5+...$, oder in der verkürzten Schreibweise als ...001022₃.

Der Ring der p-adischen ganzen Zahlen ist nullteilerfrei, deshalb können wir den Quotientenkörper bilden und erhalten $\Bbb Q_p$, den Körper der p-adischen Zahlen. Jedes von 0 verschiedene Element dieses Körpers kann man darstellen in der Form pⁿu, wobei n eine ganze Zahl ist, und u eine invertierbare p-adische ganze Zahl (also mit erster Komponente u₁ ungleich 0). Diese Darstellung ist eindeutig.

Eigenschaften

Die Menge $\Bbb Q_p$ der p-adischen Zahlen ist überabzählbar.

Der Körper der p-adischen Zahlen enthält $\Bbb Q$ und hat deshalb Charakteristik 0. Dieser Körper kann nicht angeordnet werden.

Der topologische Raum $\Z_p$ der p-adischen ganzen Zahlen ist ein kompakter Raum, der Raum aller p-adischen Zahlen ist lokal kompakt. Als metrische Räume sind beide vollständig.

Die Primelemente von $\Z_p$ sind genau die zur Zahl p assoziierten Elemente. Dies sind auch genau die Elemente, deren Betrag gleich | p | = 1 / p ist; dieser Betrag ist der größte in $\Bbb Q_p$ vorkommende Betrag, der kleiner ist als 1.

$\Z_p$ ist ein lokaler Ring, genauer ein diskreter Bewertungsring. Sein maximales Ideal wird von p (oder einem beliebigen anderen Primelement) erzeugt.

Die reellen Zahlen haben nur eine einzige echte algebraische Erweiterung, die komplexen Zahlen; bereits der durch Adjunktion einer Quadratwurzel entstehende Erweiterungskörper ist algebraisch abgeschlossen. Im Gegensatz dazu hat der algebraische Abschluss von $\Bbb Q_p$ einen unendlichen Erweiterungsgrad. $\Bbb Q_p$ hat also unendlich viele inäquivalente algebraische Erweiterungen.

Die Metrik auf $\Bbb Q_p$ lässt sich zu einer Metrik auf dem algebraischen Abschluss fortsetzen, allerdings ist diese dann nicht vollständig. Die Vervollständigung des algebraischen Abschlusses bezüglich dieser Metrik führt zum Körper $\Bbb C_p$, der bezüglich seiner Analysis etwa den komplexen Zahlen entspricht.

Die übliche Definition der e-Funktion

$\exp(x) := \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$

konvergiert für alle x mit $|x|_p&amp;lt;p^{ \frac{-1}{p-1} }$. Dieser Konvergenzkreis gilt für alle algebraischen Erweiterungen von $\Bbb Q_p$ und deren Vervollständigungen, einschließlich $\Bbb C_p$.

Damit liegt exp(p) in $\Bbb Q_p$ für alle p > 2; in $\Bbb Q_2$ liegt exp(4). Es gibt algebraische Erweiterungen von $\Bbb Q_p$, in denen die p-te Wurzel von exp(p) bzw. die vierte Wurzel von exp(4) liegt; diese Wurzeln könnte man als p-adische Entsprechungen der Eulerschen Zahl auffassen. Diese Zahlen haben aber mit der reellen Eulerschen Zahl e = 2,718... wenig zu tun.

Funktionen von $\R$ nach $\R$ mit Ableitung 0 sind konstant. Für Funktionen von $\Bbb Q_p$ nach $\Bbb Q_p$ gilt dieser Satz nicht; zum Beispiel hat die Funktion

$f: \Bbb Q_p\to\Bbb Q_p, \; x\mapsto \left( \frac{1}{|x|_p} \right)^2$ für $x\neq 0$, f(0) = 0

auf ganz $\Bbb Q_p$ die Ableitung 0, ist aber nicht einmal lokal konstant in 0. Dabei ist die Ableitung analog zum reellen Fall über den Grenzwert der Differenzenquotienten definiert, und die Ableitung in 0 ist

$\lim_{h\to 0}\left|\frac{ \left( \frac{1}{|h|_p} \right)^2}{h}\right|_p = \lim_{h\to 0}|h|_p = 0$.

Sind $r_\infty, r_2, r_3, r_5, r_7, ...$ Elemente von $\Bbb Q_\infty (:=\R), \Bbb Q_2, \Bbb Q_3, \Bbb Q_5, \Bbb Q_7, ...$, dann gibt es eine Folge (x_n) in $\Bbb Q$, so dass für alle p (einschließlich $\infty$) der Grenzwert der x_n in $\Bbb Q_p$ r_p ist. (Diese Aussage wird manchmal Näherungssatz genannt.)

Quelle

• Armin Leutbecher: Zahlentheorie - Eine Einführung in die Algebra. Springer-Verlag, 1996, ISBN 3-540-58791-8, S. 116-130

Zahlenbereiche

Natürliche Zahlen $\mathbb{N}$ | Ganze Zahlen $\mathbb{Z}$ | Rationale Zahlen $\mathbb{Q}$ | Reelle Zahlen $\mathbb{R}$ | Komplexe Zahlen $\mathbb C$ | Quaternionen $\mathbb H$ | Oktaven $\mathbb{O}$

p-adische Zahlen $\mathbb{Z}_p,\mathbb Q_p$