Plancklänge

Die Planck-Skala markiert eine Grenze für die Anwendbarkeit der bekannten Gesetze der Physik. Auf Distanzen der Größenordnung der Planck-Länge (ca. 10^-35 m) müsste die Physik mit Hilfe einer Quantentheorie der Gravitation beschrieben werden, die bisher nur in Ansätzen existiert. Bei Teilchen mit Energien auf der Skala der Planck-Masse wird die Compton-Wellenlänge $\lambda = \frac{h}{m c}$ vergleichbar mit dem Schwarzschild-Radius und die Planck-Masse ergibt sich zu (siehe unten):

$m_\mathrm{P} = \sqrt\frac{\hbar c}{G}$ ≈ 1,2209·10¹⁹ GeV/c² = 2,176·10^-8 kg

Der empfohlene CODATA-Wert für die Planck-Masse ist (aus den verwendeten Konstanten) 2,176 45(16)·10^-8 kg = 2,17645·10^-8 kg ± 0,00016·10^-8 kg. Es kommt aber bei der Planckmasse nur auf die Größenordnung an.

In der Teilchenphysik und Kosmologie wird auch häufig die „reduzierte Planckmasse“ verwendet, die sich nur durch einen konstanten Faktor von der Planck-Masse unterscheidet:

$\sqrt\frac{\hbar c}{8\pi G}$ ≈ 4,340 µg = 2,43·10¹⁸ GeV/c².

Entsprechend lassen sich weitere Größen der Planck-Skala (Planck-Einheiten) aus den drei grundlegenden Naturkonstanten, der Gravitationskonstante G, der Lichtgeschwindigkeit c und dem planckschen Wirkungsquantum $\hbar$ konstruieren. Die Planckzeit ergibt sich z.B. aus der Zeit, die das Licht benötigt die Plancklänge zu durchlaufen (c ist bekanntlich die obere Grenzgeschwindigkeit jeglicher Signalausbreitung): t_P = l_P / c ~ 10 ^-43 s.

Größenordnungen

Die Planck-Länge l_P ist um einen Faktor von etwa 10²⁰ kleiner als der Durchmesser des Protons und damit weit jenseits einer direkten experimentellen Zugänglichkeit. Wollte man derartig kleine Strukturen mit einem Teilchenbeschleuniger untersuchen, so müsste die De-Broglie-Wellenlänge $\frac{h}{p}$ der verwendeten Teilchen vergleichbar mit l_P sein, bzw. ihre Energie vergleichbar mit E_P. Die über E = mc² zugeordnete Masse wäre über 10¹⁶ mal so groß wie die Masse des schwersten bekannten Elementarteilchens, des Top-Quarks. Ein entsprechender Beschleuniger hätte mindestens den Durchmesser unseres Sonnensystems. Der einzige denkbare Prozess, bei dem vergleichbare Energien aufgetreten sein könnten, ist das Universum ungefähr eine Planck-Zeiteinheit nach dem hypothetischen Urknall. Die Planckmasse ist sogar fast schon auf der „menschlichen“ Größenskala – ein Floh wiegt 4000 bis 5000 Planckmassen.

Ableitung der Planckmasse

Wie oben bereits angedeutet, führt die gleichzeitige Anwendung der Gesetze der Quantenmechanik und der Allgemeinen Relativitätstheorie bei hinreichend kleinen räumlichen und zeitlichen Abständen zu Problemen, wie die folgende Überlegung zeigt: Befindet sich ein Objekt oder Teilchen in einem Raumgebiet mit dem Durchmesser Δx, so ist aufgrund der Unschärferelation sein Impuls nur bis auf Δp genau bestimmt, wobei

$\Delta x \cdot \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}$

gilt. Das bedeutet, dass der Impuls mindestens Werte im Bereich bis $\Delta p = \frac{\hbar}{2\Delta x}$ annehmen muss. Selbst für ein Teilchen ohne invariante Masse ist damit eine Energie E und daher auch eine Mindestmasse m verbunden, wobei

$m c^2 = E = \Delta p c = \frac{\hbar c}{2 \Delta x}$

Befindet sich die Masse m in einem Raumgebiet mit einem Radius kleiner als ihr Schwarzschildradius

$r = \frac{2 G m}{c^2}$

so wird sie zum Schwarzen Loch. Das ist durch die Wahl eines hinreichend kleinen x erreichbar, denn mit einer Verkleinerung von Δx wächst Δp und damit auch m und r bis schließlich $r \approx \Delta x$ wird. Diese Situation entzieht sich jedoch einer Beschreibung durch die bekannte Physik. Man erhält die Formel für die Planck-Länge und Planck-Masse der Größenordnung nach, indem man r = Δx setzt und die beiden letzten Gleichungen nach r und m auflöst.

Literatur

• Giovanni Amelino-Camelia: Planck scale effects in astrophysics and cosmology. Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-25263-0
• Richard L.Amoroso: Gravitation and cosmology - from the Hubble radius to the Planck scale. Kluwer Academic, Dordrecht 2002, ISBN 1-4020-0885-6
• Nick Huggett, Craig Callender: Physics meets philosophy at the Planck scale - contemporary theories in quantum gravity. Cambridge Univ. Press, Cambridge 2001, ISBN 0-521-66445-4

Weblinks

• Was ist die Planck-Welt?, Flash-Video aus der Fernsehsendung alpha-Centauri (JavaScript benötigt)