Alexandroff-Kompaktifizierung

Kompaktifizierung ist ein Begriff aus der Topologie. Dabei wird ein (nicht kompakter) topologischer Raum so erweitert, dass er kompakt ist und der ursprüngliche Raum im erweiterten dicht liegt. Die letzte Forderung soll dabei unsinnige Erweiterungen ausschließen. So sorgt sie dafür, dass bei einer Kompaktifizierung eines bereits kompakten Raumes nichts hinzu kommt. Mathematisch formuliert sich dies so:

Eine Kompaktifizierung eines topologischen Raumes X ist ein Paar (Y,β) bestehend aus einem kompakten topologischen Raum Y und einer injektiven, stetigen und relativ offenen Abbildung $\beta: X \rightarrow Y$, so dass das Bild β(X) dicht in Y liegt.

Die Forderungen an β, dass es injektiv, stetig und relativ offen ist, d. h. offen aufs Bild, bedeuten schlichtweg, dass β ein Homöomorphismus von X auf das Bild β(X) ist. Daher kann man Y als Erweiterung von X bzw. X als Teilmenge von Y ansehen.

Da Teilräume von kompakten (im Sinne von quasikompakt und hausdorffsch) Räumen vollständig regulär sind, können nur solche Räume kompaktifiziert werden. In der Tat kann auch jeder vollständig reguläre Raum durch die Stone-Čech-Kompaktifizierung kompaktifiziert werden.

Eine einfachere Methode ergibt sich für einen lokalkompakten, nicht kompakten Raum X, dieser kann durch Hinzufügen eines unendlich fernen Punktes ω kompaktifiziert werden. Die Topologie, also die offenen Teilmengen von $X \cup \{\omega\}$ sind dann die bereits gegebenen offenen Teilmengen von X und die Komplemente von in X liegenden kompakten Mengen. Diese Kompaktifizierung wird auch Einpunktkompaktifizierung oder Alexandroff-Kompaktifizierung genannt.

Die Einpunktkompaktifizierung der reellen Zahlen z. B. entspricht topologisch der Struktur eines Kreises, also einer S¹. Die Einpunktkompaktifizierung der komplexen Zahlen ist die Riemannsche Zahlenkugel, deren Struktur der Oberfläche einer Kugel, also einer S², entspricht. Allgemein ist die Einpunktkompaktifizierung des $\mathbb{R}^n$ die Sⁿ

In der Stringtheorie spricht man auch von kompaktifizierten, oder aufgerollten Dimensionen. Damit ist gemeint, dass die topologische Struktur dieser Dimension ein Kreis, also eine S¹ ist. Ein zweidimensionaler Raum mit einer kompakten Dimension wäre dann sozusagen ein unendlich langer Zylinder, mathematisch als $\mathbb{R}\times S^1$ dargestellt. Ähnlich muss man sich in der Stringtheorie die Raumzeit als eine Art 11-dimensionalen Zylinder vorstellen, von der 7 Dimensionen wie ein Kreis sind. Da durch die kompakten Dimensionen das Nicht-wahrnehmen derselbigen erklärt werden soll, ist die mathematische Kompaktifizierung mit dem unendlich fernen Punkten aus physikalischer Sicht keine gute Formulierung, da dadurch suggeriert wird, man müsse in diesen Dimensionen unendlich weit gehen, um einmal herum zukommen. Dann aber wären diese Dimensionen sehr groß und man müsste sie irgendwie wahrnehmen können. Daher geht man in der Stringtheorie davon aus, dass der Umfang einer solchen Dimension eher im Bereich der Plancklänge zu suchen ist. Daher werden diese Dimensionen mathematisch durch die reellen Zahlen unendlich oft überlagert ausgedrückt, d. h. man beschreibt diese Dimensionen mit den reellen Zahlen, sagt aber, dass zwei Werte, deren Differenz ein Vielfaches des Umfangs der Dimension sind, denselben Punkt beschreiben. Dieser mathematische Hintergrund führt zu der anschaulichen Sprechweise des Aufrollens der Dimensionen zu einem Kreis.