Plücker-Matrix

Eine Plücker-Matrix ist eine spezielle schiefsymmetrische reelle $4\times 4$-Matrix, die eine Gerade im vierdimensionalen projektiven Raum charakterisiert. Da sie auf homogenen Koordinaten beruht, ist sie bis auf einen von Null verschiedenen reellen Faktor bestimmt. Benannt ist sie nach dem deutschen Mathematiker Julius Plücker. Die Plücker-Matrix ist Bestandteil der höherdimensionalen Plücker-Koordinaten.

Definition

Die Plücker-Matrix einer Geraden ist definiert durch zwei verschiedene Punkte A = (A₁,A₂,A₃,A₄) und B = (B₁,B₂,B₃,B₄) auf der Geraden, dargestellt als Spaltenvektoren.

L = AB^T − BA^T

l_ij = A_iB_j − B_iA_j

Die duale Plücker-Matrix einer Geraden ist definiert durch den Schnitt zweier Ebenen P und Q, der mit der gegebenen Geraden zusammenfällt. Die Ebenen P bzw. Q enthalten alle Punkte, deren Skalarprodukt mit den Spaltenvektoren P bzw. Q gleich Null ist.

L ^* = PQ^T − QP^T

Es gilt folgende Beziehung der Matrix-Elemente :

$l_{12} : l_{13} : l_{14} : l_{23} : l_{24} : l_{34} = l^*_{34} : l^*_{24} : l^*_{23} : l^*_{14} : l^*_{13} : l^*_{12}$

Eigenschaften

Jede Plücker-Matrix besitzt lediglich Rang 2 und vier Freiheitsgrade (wie jede Gerade in $\mathbb{R}^3$). Sie ist unabhängig von der Wahl der Punkte A und B und ist außerdem eine Verallgemeinerung der Geradengleichung $l = x_1 \times x_2$.

L ^* X = 0 ist genau dann erfüllt, wenn der Punkt X auf der Gerade liegt.

Lπ = 0 ist genau dann erfüllt, wenn die Gerade in der Ebene π liegt.

L ^* X = π definiert zusammen mit dem Punkt X eine Ebene π.

Lπ = X legt den Schnittpunkt zwischen der Geraden und einer weiteren Geraden in X fest.

Beispiel

Die X-Achse kann dargestellt werden durch

$\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$

Weblinks

• Präsentation zum Projektiven Raum in der Computer Vision (pdf, 0.35 Mb)
• Projective 3D geometry (ppt, engl.)