Rang (Mathematik)

Der Rang ist ein Begriff aus der linearen Algebra. Man ordnet ihn einer Matrix oder einer linearen Abbildung zu. Übliche Schreibweisen sind rang(f) und rg(f). Selten werden auch die englischen Schreibweisen rank(f) und rk(f) benutzt.

Definition

Spaltenvektoren einer Matrix

• Für eine Matrix A definiert man den Zeilenraum ZR(A) als die lineare Hülle der Zeilenvektoren aus A. Die Dimension des Zeilenraums bezeichnet man als Zeilenrang. Analog definiert man den Spaltenraum SR(A) und den Spaltenrang durch die Spaltenvektoren. Man kann zeigen, dass der Zeilen- und Spaltenrang jeder Matrix gleich ist und spricht deshalb vom (wohldefinierten) Rang der Matrix.
• Der Rang eines Systems aus endlich vielen Vektoren entspricht der Dimension seiner linearen Hülle.^[1]
• Bei einer linearen Abbildung f ist der Rang als Dimension des Bildes im(f) dieser Abbildung definiert:

rang(f) = dim(im(f))

Eine lineare Abbildung und die zugehörige Abbildungsmatrix besitzen den gleichen Rang.

Berechnung

Um den Rang einer Matrix zu bestimmen, formt man diese mittels des gaußschen Eliminationsverfahrens in eine äquivalente Matrix in (Zeilen-)Stufenform um. Die Anzahl der Zeilenvektoren, die ungleich 0 sind, entspricht dann dem Rang der Matrix.

Beispiele:

• $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 5 & 4 \\ 0 & 10 & 2 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 5 & 4 \\ 0 & 0 & -6 \end{pmatrix} \Rightarrow \mathrm{rang}(A) = 3$

• $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 6 & 4 \\ 0 & 3 & 2 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 6 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow \mathrm{rang}(B) = 2$

Alternativ lässt sich die Matrix auch in Spaltenstufenform umformen. Der Rang der Matrix entspricht dann der Anzahl der Spaltenvektoren, die ungleich 0 sind.

Quadratische Matrizen

Ist der Rang einer quadratischen Matrix gleich ihrer Zeilen- und Spaltenzahl, hat sie vollen Rang und wird reguläre Matrix genannt. Diese Eigenschaft lässt sich anhand ihrer Determinante feststellen. Eine Matrix hat genau dann vollen Rang, wenn ihre Determinante von null verschieden ist bzw. null keiner ihrer Eigenwerte ist.

Eigenschaften

• Die einzige Matrix mit Rang 0 ist die Nullmatrix 0_m,n . Die $n\!\times\!n$-Einheitsmatrix E_n hat den vollen Rang n.
• Für den Rang einer $m\!\times\!n$-Matrix A gilt:

  $\mathrm{rang}(A) \leq \min \{m,n\}$

• Die Transponierte A^T einer Matrix A hat den gleichen Rang wie A:

  $\operatorname{rang}(A) = \operatorname{rang}(A^T)\;$

• Erweiterung: Der Rang einer Matrix A und der zugehörigen Gram-Matrix sind gleich:

  $\mathrm{rang}(A) = \mathrm{rang}(A^TA) = \mathrm{rang}(AA^T) = \mathrm{rang}(A^T)\;$

• Für zwei Matrizen mit jeweils passenden Größen gilt:

  $\mathrm{rang}(A+B) \leq \mathrm{rang}(A) + \mathrm{rang}(B)$

  $\mathrm{rang}(A \cdot B) \leq \mathrm{min}\left\{\mathrm{rang}(A),\mathrm{rang}(B) \right\}$

• Rangungleichung von Sylvester: Für n×n-Matrizen A und B gilt:

  $\mathrm{rang}(A) + \mathrm{rang}(B) -n \leq \mathrm{rang}(AB)$

• Ein lineares Gleichungssystem $A \cdot x = b$ ist lösbar genau dann, wenn $b \in SR(A)$ gilt.
• Eine lineare Abbildung ist genau dann injektiv, wenn die Abbildungsmatrix $A \in K^{m \times n}$ vollen Spaltenrang hat: rang(A) = n
• Eine lineare Abbildung ist genau dann surjektiv, wenn die Abbildungsmatrix $A \in K^{m \times n}$ vollen Zeilenrang hat: rang(A) = m
• Eine lineare Abbildung ist genau dann bijektiv, wenn die Abbildungsmatrix $A \in K^{m \times n}$ quadratisch ist (m = n) und vollen Rang hat: rang(A) = m = n
• Rangsatz (Zusammenhang zwischen dem Rang und dem Defekt einer linearen Abbildung aus einem n-dimensionalen Vektorraum V in einen m-dimensionalen Vektorraum W):

  $\dim V = \mathrm{rang}(f) + \mathrm{def}(f)\;$

Literatur

• Gerd Fischer: Lineare Algebra. 13. Auflage. Vieweg, Braunschweig, Wiesbaden 2002, ISBN 3-528-97217-3.

Einzelnachweise

1. ↑ Falko Lorenz: Lineare Algebra I. 3. Auflage. Spektrum, Heidelberg 1992, ISBN 3-411-15193-5.