Graßmann-Plücker-Relation

Die Graßmann-Plücker-Relationen beschreiben Beziehungen zwischen Determinanten mit teilweise übereinstimmenden Spalten.

Definitionen und Sätze

Allgemeine Form

Eine allgemeine Graßmann-Plücker-Relation hat die Form

$\sum_{i=1}^{r+1}(-1)^i\cdot\det(A_1,\dots,A_{r-1},B_i)\cdot\det(B_1,\dots,B_{i-1},B_{i+1},\dots,B_{r+1})=0$

wobei $A_1,\dots,A_{r-1},B_1,\dots,B_{r+1}$ Vektoren in einem r-dimensionalen Vektorraum sind, die die Spalten der Matrizen bilden, deren Determinanten berechnet werden.^[1]

Die Dimension des zugrundeliegenden Vektorraums wird häufig als Rang bezeichnet (und daher hier als r abgekürzt). In Fällen, in denen die Spalten homogene Koordinaten von Punkten darstellen, liegen diese Punkte in einem projektiven Raum eine Dimension niedriger.

Konkrete Form für niedrige Dimensionen

In Rang 2 hat die Formel 3 Summanden und verwendet 4 Vektoren A bis D:

$\det(A,B)\cdot\det(C,D) - \det(A,C)\cdot\det(B,D) + \det(A,D)\cdot\det(B,C) = 0$

In Rang 3 hat die Formel 4 Summanden und verwendet 6 Vektoren A bis F:

$\det(A,B,C)\cdot\det(D,E,F) - \det(A,B,D)\cdot\det(C,E,F) + \det(A,B,E)\cdot\det(C,D,F) - \det(A,B,F)\cdot\det(C,D,E) = 0$

Beweis

Falls alle vorkommenden Summanden 0 sind, ist die Gleichung trivialer Weise erfüllt. Nehmen wir also an, dass einer der Summanden von 0 verschieden ist. O.B.d.A. sei dies der erste Summand, da wir die Vektoren der beiden Mengen A und B beliebig umsortieren können. Der erste Summand besteht also aus zwei Matrizen, deren Determinanten von 0 verschieden sind.

Bezeichnen wir die Matrix in der ersten Determinante mit M und die zweite mit N.

$M=(A_1,\dots,A_{r-1},B_1)\quad N=(B_2,\dots,B_{r+1})$

Multipliziert man alle vorkommenden Matrizen mit der inversen Matrix M ^{− 1}, so wird jede Determinante mit dem Faktor $\det(M^{-1})\neq0$ multipliziert, die gesamte gleichung also mit dem Quadrat davon. Diesen Faktor kann man ausklammern und aus der Gleichung ziehen. Da M ^{− 1}M die Einheitsmatrix ist, kann man also o.B.d.A. annehmen, dass die erste Matrix die Einheitsmatrix ist.

In diesem Fall gilt A_i = e_i (für $i=1,\dots,(r-1)$) und B₁ = e_r.

$\sum_{i=1}^{r+1}(-1)^i\cdot\det(e_1,\dots,e_{r-1},B_i)\cdot\det(B_1,\dots,B_{i-1},B_{i+1},\dots,B_{r+1})=$

$\det(E_r)\cdot\det(B_2,\dots,B_{r+1})+\sum_{i=2}^{r+1}(-1)^i\cdot\det(e_1,\dots,e_{r-1},B_i)\cdot\det(e_r,\dots,B_{i-1},B_{i+1},\dots,B_{r+1})=$

$\det(N)+\sum_{i=2}^{r+1}(-1)^i\cdot n_{r,(i-1)}\cdot\det(N_{r,(i-1)})=$

det(N) − det(N) = 0

Dabei wird die Summe als Entwicklung der Determinante nach der letzten Zeile aufgefasst. Der Eintrag n_{r,(i − 1)}, der in der Matrix N in der letzten Zeile r und in der Spalte i steht, entspricht dabei der letzten Komponente des Vektors B_i, da N mit B₂ anfängt. Die Matrix N_{r,(i − 1)} ist die Untermatrix, wenn man den Vektor B_i und die letzte Zeile entfernt. Diese Untermatrizen ergeben sich durch Entwicklung der zweiten Determinante nach der ersten Spalte.^[2]

Anwendungen

• Die Graßmann-Plücker-Relationen gehören zu den Syzygien. Sie können verwendet werden, um Beweise (etwa von geometrischen Schließungssätzen) zu formulieren.
• Orientierte Matroide können dadurch charakterisiert werden, dass sie in keinem offensichtlichen Widerspruch zu den Graßmann-Plücker-Relationen stehen.
• Graßmann-Plücker-Koordinaten, die zur Beschreibung geometrischer Objekte in höherdimensionalen projektiven Räumen verwendet werden, müssen diese Relationen erfüllen, um konsistent zu sein.

Siehe auch

• Syzygie

Literatur

• Hermann Graßmann: Die lineale Ausdehnungslehre. 1. Auflage. 1844 (PDF, 11MB).
• Jürgen Richter-Gebert und Thorsten Orendt: Geometriekalküle. 1. Auflage. Springer, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-642-02529-7.

Einzelnachweise

1. ↑ Geometriekalküle, S. 141 ff.
2. ↑ Geometriekalküle, S. 142 f.