Polar-Methode

Die Polar-Methode von George Marsaglia ist ein Verfahren zur Erzeugung normalverteilter Zufallszahlen (Zufallszahlengenerator).

Beschreibung

Mit dieser Methode werden aus zwei gegebenen, im Intervall [0,1] gleichverteilten und voneinander unabhängigen Zufallszahlen u₁ und u₂ zwei standardnormalverteilte, voneinander unabhängige Zufallszahlen z₁ und z₂ erzeugt.

Zunächst wird berechnet

$a_i = 2 \cdot u_i - 1 \; ; \quad i\in \{1,2\}$ (die a_i sind in [ − 1,1] gleichverteilt).

$q = a_1^2 + a_2^2$.

Ist q = 0 oder q > 1, müssen zwei neue Zahlen u₁ und u₂ erzeugt werden, da in den reellen Zahlen der Logarithmus von Null und die Division durch Null nicht definiert sind, und außerdem muss der Punkt (a₁,a₂) im Einheitskreis gleichverteilt sein.

Wenn $0 < q \le 1$, berechnet man

$p = \sqrt{\frac{-2 \ln q}{q}}$,

und die beiden standardnormalverteilten Zufallszahlen z₁ und z₂ ergeben sich dann als

$z_i = a_i \cdot p \; ; \quad i\in \{1,2\}$

Beispielprogramm

Prozedur ErzeugeNormalverteilteZufallszahlen (Referenzparameter z1, z2)
  Wiederhole
    a1 = 2 * Zufallszahl - 1  // "Zufallszahl" liefert in [0,1)
    a2 = 2 * Zufallszahl - 1  //   gleichverteilte Werte
    q = a1 * a1 + a2 * a2
  Solange bis (0 < q) und (q ≤ 1)
  p = Wurzel (-2 * ln(q) / q)
  z1 = a1 * p
  z2 = a2 * p  // Rückgabe durch die Referenzparameter z1, z2
Ende

Geschichte

Diese Methode geht zurück auf den Box-Muller Algorithmus zur Erzeugung normalverteilter Zufallsgrößen. Ausgangspunkt ist ein gleichverteilter Punkt in der Ebene. Beim Box-Muller Algorithmus werden die euklidischen Koordinaten verwertet. Bei der Polar-Methode werden diese euklidischen Koordinaten in Polarkoordinaten umgewandelt. Dadurch spart man sich hier die Auswertung von trigonometrischen Funktionen.

Alternativen

Alternativen sind im Artikel Normalverteilung beschrieben.