Potenzgerade

Unter der Potenzgeraden (Potenzlinie, Chordale) zweier Kreise versteht man den geometrischen Ort (die Menge) aller Punkte, deren Potenz in Bezug auf die beiden Kreise übereinstimmt. Sind die Kreise durch ihre Mittelpunkte M₁ und M₂ sowie ihre Radien r₁ und r₂ gegeben, so besteht die Potenzgerade genau aus den Punkten P, für die

$\overline{M_1 P}^2 - {r_1}^2 = \overline{M_2 P}^2 - {r_2}^2$

gilt. Die Potenzgerade ist nur definiert, wenn die gegebenen Kreise nicht konzentrisch sind, also keinen übereinstimmenden Mittelpunkt haben.

Eigenschaften

• Die Potenzgerade zweier Kreise verläuft senkrecht zur Verbindungsstrecke der beiden Kreismittelpunkte.

Für zwei sich schneidende Kreise (Fall 3) geht die Potenzgerade durch die beiden Schnittpunkte. Falls sich die beiden Kreise berühren (Fall 2 und Fall 4), stimmt die Potenzgerade mit der gemeinsamen Tangente überein.

• Die Abstände der Potenzgeraden von den beiden Kreismittelpunkten sind gegeben durch:

$d_1 = \frac{d^2+{r_1}^2-{r_2}^2}{2d}$

$d_2 = \frac{d^2+{r_2}^2-{r_1}^2}{2d}$

Dabei bezeichnen r₁ und r₂ die Radien; $d = \overline{M_1 M_2}$ steht für den Abstand der Mittelpunkte.

• Für die Punkte der Potenzgeraden, die außerhalb der gegebenen Kreise liegen, sind die Tangentenabschnitte an beide Kreise gleich lang.

• Die Potenzgerade zweier Kreise ist die Menge der Mittelpunkte aller Kreise, welche die gegebenen Kreise rechtwinklig schneiden.

Drei Kreise (schwarz) mit Potenzgeraden (blau); der orange gezeichnete Kreis schneidet die gegebenen Kreise rechtwinklig.

• Sind drei Kreise gegeben, unter denen keine zwei konzentrisch sind, so existieren drei Potenzgeraden (jeweils eine zu zwei Kreisen). Falls die Mittelpunkte der gegebenen Kreise nicht auf einer Geraden liegen, schneiden sich die Potenzgeraden in einem Punkt (engl. radical center), und zwar im Mittelpunkt des Kreises, der die gegebenen Kreise rechtwinklig schneidet (engl. radical circle).