Menge (Mathematik)

Die Menge ist eines der wichtigsten und grundlegenden Konzepte der Mathematik. Man fasst im Rahmen der Mengenlehre einzelne Elemente (beispielsweise Zahlen) zu einer Menge zusammen. Eine Menge muss kein Element enthalten (diese Menge heißt die „leere Menge“). Bei der Beschreibung einer Menge geht es ausschließlich um die Frage, welche Elemente in ihr enthalten sind. Es wird nicht danach gefragt, ob ein Element mehrmals enthalten ist, oder ob es eine Reihenfolge unter den Elementen gibt.

Begriff und Notation von Mengen

Menge als gedankliche Zusammenfassung von Objekten

Der Begriff Menge geht auf Bernard Bolzano und Georg Cantor zurück. In Bolzanos Manuskripten aus den Jahren zwischen 1830 bis 1848 heißt es: „Inbegriffe nun, bey welchen auf die Art, wie ihre Theile mit einander verbunden sind, gar nicht geachtet werden soll, an denen somit Alles, was wir an ihnen unterscheiden, bestimmt ist, sobald nur ihre Theile [selbst] besimmt sind, verdienen es eben um dieser Beschaffenheit willen, mit einem eigenen Nahmen bezeichnet zu werden. In Ermangelung eines andern tauglichen Wortes erlaube ich mir das Wort Menge zu diesem Zwecke zu brauchen;“^[1]. Cantor beschrieb eine Menge „naiv“ als eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen beschrieb. Die Objekte der Menge heißen Elemente der Menge. Weder der Begriff Menge noch der Begriff Element werden im mathematischen Sinn definiert; sie werden auch nicht als oder in Axiomen definiert. Die moderne Mengenlehre und damit ein Großteil der Mathematik basiert auf den Zermelo-Fraenkel-Axiomen, Neumann-Bernays-Gödel-Axiomen oder anderen Axiomensystemen. Wir haben ein natürliches, intuitiv richtiges Verständnis für Mengen; allerdings führt der Begriff „die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten“ zu einem Widerspruch, der Russell’schen Antinomie; ebenso wie „die Menge aller Mengen“.

Eine Veranschaulichung des Mengenbegriffs, die Richard Dedekind zugeschrieben wird, ist das Bild eines Sackes, der gewisse (als Einzelne abgrenzbare) Dinge enthält. Nützlich ist diese Vorstellung zum Beispiel für die leere Menge: ein leerer Sack. Die leere Menge ist also nicht „nichts“, sondern der Inhalt eines Behältnisses, das keine der für es als Inhalt vorgesehenen Dinge enthält. Das „Behältnis“ selbst verweist nur auf die bestimmte zu zählende Sorte und Art von Elementen.

Endliche Mengen können (insbesondere wenn sie relativ wenig Elemente haben) durch Aufzählen ihrer Elemente (aufzählende Mengenschreibweise) angegeben werden, etwa M = {blau, gelb, rot}, wobei es wie gesagt nicht auf eine Reihenfolge ankommt oder darauf, ob ein Element mehr als einmal genannt wird.

Oft ist es ungünstig oder (bei unendlichen Mengen) unmöglich, die Elemente einer Menge aufzuzählen. In diesen Fällen gibt es eine andere Notation, in der die Elemente einer Menge durch eine Eigenschaft festgelegt werden, zum Beispiel M = { x | x ist eine Grundfarbe }.

Weiterhin prägte Dedekind das Synonym des Systems zu welchem er Elemente zusammenfasste, diese Bezeichnung ist heute noch teilweise üblich, so nennt man eine „Menge von Vektoren“ auch kurz ein Vektorsystem.

Andere Schreibweisen

Andere Schreibweisen für Mengen können als Abkürzungen für die intensionale Notation angesehen werden:

• die aufzählende Schreibweise M = { blau, gelb, rot } kann als eine Abkürzung für die umständlichere Schreibweise M = { x | x = blau oder x = gelb oder x = rot } verstanden werden.
• bei der elliptischen Schreibweise werden nur einige Elemente als Beispiele aufgeführt, etwa: M = { 3, 6, 9, 12, …, 96, 99 }. Sie ist nur verwendbar, wenn das Bildungsgesetz aus diesen Beispielen oder aus dem Zusammenhang klar ist. Hier ist offenbar die Menge gemeint, die sich intensional als M = { x | x ist eine durch 3 teilbare Zahl zwischen 1 und 100 } schreiben lässt. Diese Schreibweise wird häufig für unendliche Mengen angewendet. So beschreibt G = { 4, 6, 8, 10, … } die Menge der geraden, natürlichen Zahlen, die größer sind als 2 (also das obige Beispiel G).
• Neue Mengen kann man auch durch Mengenoperationen bilden, wie aus A und B die Schnittmenge $M = A\cap B$. Diese kann intensional geschrieben werden als M = { x | x ist in A und x ist in B }
• ferner gibt es noch die induktive Definition von Mengen.

Grundlegende Beziehungen zwischen Mengen

Die Dinge, die in einer Menge enthalten sind, heißen Elemente. Ist ein Objekt x Element einer Menge M, so schreibt man dafür formal: $x \in M$. Die Verneinung (x ist kein Element von M) schreibt man als: $x \notin M$. Historisch geht das Symbol $\in$ zurück auf den griechischen Buchstaben ε als Anfangsbuchstabe von εστί.^[2]

Gleichheit von Mengen und Extensionalität

Gleichheit

Zwei Mengen heißen gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten.

Diese Definition bezeichnet die Extensionalität und damit die grundlegende Eigenschaft von Mengen. Formal:

$A=B :\Longleftrightarrow \forall x \left(x \in A \,\leftrightarrow x \in B \right)$

Tatsächlich muss eine Menge A aber meist intensional beschrieben werden. Das heißt: Es wird eine Aussageform P(x) angegeben (mit einer Objektvariablen x, die eine wohlbestimmte Definitionsmenge D haben sollte), sodass $x \in A$ genau dann gilt, wenn P(x) zutrifft. Dafür schreibt man dann:

$A = \{x \in D \mid \mathit{P}(x) \}$

Zu jeder Menge A gibt es viele verschiedene Aussageformen P(x), die diese beschreiben. Die Frage, ob zwei gegebene Aussageformen P(x) und Q(x) dieselbe Menge beschreiben, ist keineswegs trivial. Im Gegenteil: Viele Fragestellungen der Mathematik lassen sich in dieser Form formulieren: „Sind $\{x \in D \mid \mathit{P}(x) \}$ und $\{x \in D \mid \mathit{Q}(x) \}$ die gleiche Menge?“

Viele Gleichheitsbeweise benutzen die Äquivalenz $A=B\iff(A\subseteq B\land B\subseteq A)$.

Extensionalität

→ Hauptartikel: Extensionalitätsaxiom

Wenn zwei Mengen dieselben Elemente enthalten, so sind sie gleich. Auf die Art und Weise, wie die Zugehörigkeit der Elemente zu den Mengen beschrieben ist, kommt es dabei nicht an. Die für Mengen charakteristische Eigenschaft, dass es auf die Art der Beschreibung nicht ankommt, nennt man ihre Extensionalität (von lateinisch extensio = Ausdehnung; betrifft den Umfang des Inhaltes).

Unendliche Mengen müssen aber meist „intensional“ (beschreibende Mengenschreibweise) beschrieben werden (von lateinisch intensio = Spannung; betrifft die Merkmale des Inhaltes). Das heißt: Eine Menge wird durch eine bestimmte Bedingung oder Eigenschaft beschrieben, die alle Elemente der Menge (und nur diese) erfüllen: beispielsweise G:= { x | x ist eine gerade natürliche Zahl und größer als 2 }, gelesen „sei G die Menge aller x, für die gilt: x ist eine gerade natürliche Zahl und größer als 2“, oder kürzer: „sei G die Menge aller geraden natürlichen Zahlen > 2“.

Es ist teilweise schwer zu entscheiden, ob zwei intensional beschriebene Mengen gleich sind. Dafür muss festgestellt werden, ob die Eigenschaften aus den intensionalen Beschreibungen logisch äquivalent sind (wenn die eine Eigenschaft wahr ist, ist es auch die andere, und umgekehrt).

Aus der Extensionalität folgt unmittelbar, dass es nur eine leere Menge gibt: Jede andere Menge, die die gleichen (also keine) Elemente enthält, wäre dieser gleich.

Teilmenge

→ Hauptartikel: Teilmenge

A ist eine (echte) Teilmenge von B

Eine Menge A heißt Teilmenge einer Menge B, wenn jedes Element von A auch Element von B ist.

B wird dann Obermenge (selten: Übermenge) von A genannt. Formal:

${A}\subseteq {B} :\Longleftrightarrow \forall x \left( {x} \in A \rightarrow x \in B \right)$.

A ist echte Teilmenge von B (oder B ist echte Obermenge von A), wenn A Teilmenge von B ist, aber von B verschieden, also jedes Element aus A auch Element von B ist, aber (mindestens) ein Element in B existiert, das nicht in A enthalten ist.

Die Relation „ist Teilmenge von“ bildet eine Halbordnung. Die Relation „echte Teilmenge“ ist eine strenge Halbordnung.

Es gibt zwei Notationen:

• ${A}\subseteq {B}$ für „Teilmenge“ und ${A}\subset {B}$ für „echte Teilmenge“ oder
• ${A}\subset {B}$ für „Teilmenge“ und $A \subsetneq B$ für „echte Teilmenge“.

In diesem Artikel wird das erstgenannte System verwendet, es sind jedoch beide weit verbreitet.

Die Negation der Relationen $\in$, $\subset$ und $\subseteq$ kann durch das durchgestrichene jeweilige Relationssymbol bezeichnet werden, also zum Beispiel durch $\notin$. Außerdem ist es möglich, die Reihenfolge der beiden Argumente zu vertauschen, wenn dabei auch das Relationssymbol umgedreht wird. So kann also anstelle von $x\in A$ auch $A\ni x$, anstelle von $A\subseteq B$ auch $B\supseteq A$ und anstelle von $A\subset B$ auch $B\supset A$ geschrieben werden. Auch ein gleichzeitiges Durchstreichen und Umdrehen dieser Relationssymbole ist denkbar.

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Wenn alle Elemente in einer Menge A auch in einer zweiten Menge B enthalten sind, so nennt man Menge A eine Teilmenge von Menge B. Die Menge B enthält dann mindestens so viele Elemente wie die Menge A. Für Teilmengen wird das Zeichen $\subseteq$ verwendet.

Formal: Es gilt $A \subseteq B$, wenn aus $x \in A$ folgt, dass $x \in B$ ist.

Nach dieser Definition ist jede Menge auch Teilmenge von sich selbst: $A \subseteq A$. Der Unterstrich in dem Zeichen $\subseteq$ soll das andeuten, indem er an ≤ erinnert. Eine echte Teilmenge von B ist eine Teilmenge, die nicht B selbst ist, geschrieben $A\subset B$.

Hinweis

Die Notation der Teilmengenrelation ist uneinheitlich, die beiden folgenden Möglichkeiten sind heute üblich, wobei die erste der ursprünglich von Bertrand Russell (vgl. Principia Mathematica) eingeführten entspricht:

• $\subseteq$ steht für „Teilmenge“, $\subset$ für „echte Teilmenge“
• $\subset$ steht für „Teilmenge“, $\subsetneq$ für „echte Teilmenge“.

Durchschnitt (Schnittmenge, Schnitt)

→ Hauptartikel: Differenzmenge

Schnitt $A \cap B$

→ Hauptartikel: Durchschnitt

Die Schnittmenge zweier Mengen A und B besteht aus allen Elementen, die in jeder der beiden Mengen enthalten sind (also sowohl in A als auch in B). Die Schnittmenge von A und B wird $A \cap B$ geschrieben.

Formal: Es gilt $x \in A \cap B$ genau dann, wenn $x \in A$ und $x \in B$.

Besitzen zwei Mengen kein gemeinsames Element, heißen sie elementfremd oder disjunkt. Ihre Schnittmenge ist die leere Menge.

Leere Menge

→ Hauptartikel: Leere Menge

Die Menge, die kein Element enthält, heißt leere Menge. Sie wird mit $\emptyset$ oder auch {} bezeichnet. Aus der Extensionalität der Mengen folgt, dass es nur eine leere Menge gibt: Jede „andere“ leere Menge enthält dieselben Elemente (nämlich keine), ist also gleich. Folglich sind $\emptyset$ und $\{\emptyset\}$ verschieden, da letztere Menge eine andere Menge als Element enthält. Die leere Menge ist Teilmenge einer jeden Menge.

Schnittmenge

Schnittmenge von A und B

Gegeben ist eine nichtleere Menge U von Mengen. Die Schnittmenge (auch Durchschnittsmenge) von U ist die Menge der Elemente, die in jeder Elementmenge von U enthalten sind. Formal:

$\bigcap U := \{x \mid \forall a\in U : x\in a\}$.

Ist U eine Paarmenge, also $U\,=\{A,B\}$, so schreibt man für $\bigcap U$ gewöhnlich

${A}\cap{B} := \{ x \mid \left( x \in {A} \right) \and \left( x \in {B} \right) \}$

und liest dies: A geschnitten mit B (oder: Der Durchschnitt von A und B) ist die Menge aller Elemente, die sowohl in A als auch in B enthalten sind.

Diese Schreibweise lässt sich leicht auf den Durchschnitt aus endlich vielen Mengen ${A_1, A_2,\ldots, A_n}$ verallgemeinern.

Abweichende Schreibweise für den Durchschnitt aus beliebig vielen Mengen:

Die Elemente der Menge U, die ja selbst wieder Mengen sind, werden mit A_λ bezeichnet. Es wird eine „Indexmenge“ Λ (Lambda) eingeführt, sodass $U = \{A_\lambda \mid \lambda \in \Lambda \}$ ist. Die Schnittmenge $\bigcap U$ wird dann geschrieben als:

$\bigcap_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda := \{x \mid \forall\lambda\in\Lambda: x\in A_\lambda\}$,

also die Menge aller Elemente, die in sämtlichen Mengen A_λ enthalten sind.

Eine ältere Bezeichnung für den Durchschnitt ist inneres Produkt oder Produkt erster Art. Dieses wird dann auch als

$A_1 \cdot A_2 \cdot \ldots \cdot A_n$ oder $\prod_{i=1}^n A_i$.

geschrieben. Insbesondere die letzte Schreibweise ist von vielen Autoren für das kartesische Produkt (siehe unten) reserviert.

Vereinigungsmenge

Vereinigungsmenge von A und B

Dies ist der zur Schnittmenge duale Begriff: Die Vereinigungsmenge von U ist die Menge der Elemente, die in mindestens einer Elementmenge von U enthalten sind. Formal:

$\bigcup U := \{x \mid \exists a\in U : x\in a\}$.

Im Gegensatz zu $\bigcap U$ ist $\bigcup U$ auch dann erklärt, wenn U leer ist, und zwar ergibt sich $\bigcup \emptyset = \emptyset$.

Für $U\,=\{A,B\}$ schreibt man wieder

${A}\cup{B} := \{ x \mid \left( x \in {A} \right) \lor \left( x \in {B} \right) \}$

und liest dies: A vereinigt mit B (oder: Die Vereinigung von A und B) ist die Menge aller Elemente, die in A oder in B enthalten sind. Das „oder“ ist hier nicht-ausschließend zu verstehen. Die Vereinigung umfasst auch die Elemente, die in beiden Mengen enthalten sind.

Unter Verwendung einer geeigneten Indexmenge Λ schreibt man:

$\bigcup_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda := \{x \mid \exists\lambda\in\Lambda: x\in A_\lambda\}$.

Diese Schreibweise ist auch für die Vereinigung endlich vieler Mengen ${A_1, A_2,\ldots, A_n}$ geeignet.

Als ältere Bezeichnung hierfür wird zuweilen noch die Summe verwendet und dann geschrieben

$A_1 + A_2 + \ldots + A_n$ oder $\sum_{i=1}^n A_i$.

Vorsicht: Der Begriff Summe wird heute auch für die disjunkte Vereinigung von Mengen benutzt.

Differenz und Komplement

A ohne B

Die Differenz wird gewöhnlich nur für zwei Mengen definiert: Die Differenzmenge (auch Restmenge) von A und B ist die Menge der Elemente, die in A, aber nicht in B enthalten sind. Formal:

$A \setminus B := \{ x \mid \left( x\in A \right) \and \left( x\not\in B \right) \}.$

Ist $B \subseteq A$, so heißt die Differenz $\!\ A \setminus B$ auch Komplement von B in A. Dieser Begriff wird vor allem dann verwendet, wenn A eine Grundmenge ist, die alle in einer bestimmten Untersuchung in Frage stehenden Mengen umfasst. Diese Menge muss dann im Folgenden nicht mehr erwähnt werden, und

$B^{\mathsf C}:=\{ x \mid x \not\in B \}$

heißt einfach das Komplement von B. Andere Schreibweisen für $B^{\mathsf C}$ sind $\overline B$, $\complement B$ oder $\displaystyle B'$.

Symmetrische Differenz:
„A ohne B“ vereinigt „B ohne A“

Die Menge

$A \, \triangle \, B := \left( A \setminus B \right) \cup \left( B \setminus A \right) = ( A \cup B) \setminus (A \cap B)$

wird gelegentlich als symmetrische Differenz von A und B bezeichnet. Es handelt sich um die Menge aller Elemente, die jeweils in einer, aber nicht in beiden Mengen liegen. Bei Verwendung des ausschließenden Oder (XOR oder $\oplus$) kann man dafür auch

$A \, \triangle \, B := \{ x \mid \left( x\in A \right) \oplus \left( x\in B \right) \}$

schreiben.

Kartesisches Produkt

→ Hauptartikel: Kartesisches Produkt

Die Produktmenge oder das kartesische Produkt, in älterer Terminologie auch Verbindungsmenge oder Produkt zweiter Art, soll hier ebenfalls zunächst als Verknüpfung von zwei Mengen definiert werden:

Die Produktmenge von A und B ist die Menge aller geordneten Paare, deren erstes Element aus A und deren zweites Element aus B ist.

Die Elemente des kartesischen Produkts sind also keine Elemente der Ausgangsmengen, sondern komplexere Objekte, nämlich geordnete Paare. Formal:

$A\times B := \{\left(a,b\right) \mid a\in A \and b\in B\}$

Unter der Verwendung von n-Tupeln lässt sich der Begriff leicht für die Verknüpfung endlich vieler Mengen verallgemeinern:

$A_1\times A_2 \times \ldots \times A_n := \{\left(a_1,a_2,\ldots,a_n\right) \mid a_1\in A_1 \and a_2\in A_2 \and \ldots \and a_n\in A_n\}$

Die Produktbildung ist weder kommutativ noch assoziativ. So sind $A\times B\times C$, $(A\times B)\times C$ und $A\times (B\times C)$ drei verschiedene Mengen, nämlich $\{(a,b,c)\mid a\in A\land b\in B\land c\in C\}$, $\{((a,b),c)\mid a\in A\land b\in B\land c\in C\}$ sowie $\{(a,(b,c))\mid a\in A\land b\in B\land c\in C\}$. Aufgrund Bijektionen wie $((a,b),c)\mapsto(a,(b,c))$ und der daraus folgenden Isomorphie werden diese Mengen oft nicht unterschieden. Die Assoziativität bis auf Isomorphie erlaubt es, beliebige Produktmengen aus einer endlichen Anzahl n von Mengen $A_{\lambda_i}: i\in\mathbb{N},1\leq i\leq n$ mit der Menge der n-Tupel zu identifizieren und ohne Rücksicht auf die konkrete Klammerung mit $A_{\lambda_1}\times A_{\lambda_2}\times \cdots \times A_{\lambda_n}$ zu bezeichnen.

Für die Produktmenge beliebig vieler Mengen, die durch die Indexmenge Λ benannt werden, schreibt man $\prod_{\lambda\in \Lambda} A_\lambda$ oder, wenn diese Notation schon für „Produkte erster Art“ verwendet wird, ${}^\times\prod_{\lambda \in \Lambda}A_\lambda$. Für die Definition einer solchen Produktmenge wird ein allgemeiner Funktionsbegriff benötigt. Sie ist die Menge aller Funktionen, die jedem Indexelement λ ein Element der Menge A_λ zuordnen. Formal:

${}^{(\times)}\prod_{\lambda\in \Lambda} A_\lambda := \{f:\Lambda\to \bigcup_{\lambda\in \Lambda} A_\lambda \mid \forall \lambda\in\Lambda : f\left(\lambda\right)\in A_\lambda\}$

Ob ein solches kartesisches Produkt nicht leer ist, das heißt ob es überhaupt stets solche Funktionen wie auf der rechten Seite dieser Definitionsgleichung angegegeben gibt, hängt eng mit dem Auswahlaxiom zusammen.

Für das Mengenprodukt aus identischen Faktoren gibt es abkürzende Schreibweisen:

• Anstelle des n-fachen endlichen Mengenprodukts $A\times A\times\cdots\times A$ schreibt man auch Aⁿ.
• Das unendliche Mengenprodukt $\prod_{\lambda\in\Lambda} A$ ist kanonisch isomorph zur Menge aller Abbildungen $\Lambda\rightarrow A$. In Analogie zum endlichen Fall wird dafür die Schreibweise A^Λ benutzt.

Die Mengen $A_{\lambda_1}\times A_{\lambda_2}$ und $\prod_{\lambda\in\{\lambda_1,\lambda_2\}}A_\lambda$ sind nicht notwendig gleich, aber wegen der Bijektion $(a,b)\mapsto f_{a,b}$ mit $f_{a,b}:\{\lambda_1, \lambda_2\}\to \mathbb{X}$, $\lambda_1\mapsto a$, $\lambda_2\mapsto b$ zueinander isomorph. Die Definition der zweistelligen Produktmenge ist also mit der Definition der Produktmenge beliebig vieler Mengen konsistent, weshalb für eine endliche nichtleere Produktmenge $\Lambda = \{\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n\}$ in der Regel auch nicht zwischen $\prod_{\lambda\in \Lambda} A_\lambda$ und $A_{\lambda_1}\times A_{\lambda_2}\times \cdots \times A_{\lambda_n}$ unterschieden wird.

Potenzmenge

→ Hauptartikel: Potenzmenge

Die Potenzmenge $\mathcal P(A)$ von A ist die Menge aller Teilmengen von A.

Die Potenzmenge von A enthält immer die leere Menge und die Menge A. Somit ist $\mathcal P(\emptyset)=\{\emptyset\}$, also eine einelementige Menge. Die Potenzmenge einer einelementigen Menge {a} ist $\mathcal P(\{a\})=\{\emptyset, \{a\}\}$, enthält also zwei Elemente. Allgemein gilt: Besitzt A genau n Elemente, so hat $\mathcal P(A)$ die Elementanzahl 2ⁿ. Dies motiviert auch die Schreibweise 2^A anstelle $\mathcal P(A)$.

Bei unendlichen Mengen ist der Begriff nicht unproblematisch: Es gibt nachweislich kein Verfahren, das alle Teilmengen auflisten könnte. (Siehe dazu: Cantors zweites Diagonalargument.) Bei einem axiomatischen Aufbau der Mengenlehre (etwa ZFC) muss die Existenz der Potenzmenge durch ein eigenes Potenzmengenaxiom gefordert werden.

Konstruktive Mathematiker betrachten deshalb die Potenzmenge einer unendlichen Menge als einen grundsätzlich unabgeschlossenen Bereich, zu dem – je nach Fortgang der mathematischen Forschung – immer noch neue Mengen hinzugefügt werden können.

Vereinigung (Vereinigungsmenge)

Vereinigung $A \cup B$

Die Vereinigungsmenge aus zwei Mengen A und B erhält man, indem man alle Elemente zusammenfasst, die in der einen oder in der anderen Menge enthalten sind (oder möglicherweise auch in beiden). Das Zeichen dafür ist $\cup$.

Formal: Es gilt $x \in A \cup B$, wenn $x \in A$ oder $x \in B$; das oder ist hier nicht ausschließend zu verstehen, x ist also auch in der Vereinigung, wenn es in A und in B liegt. Um darzustellen, dass die vereinigten Mengen disjunkt sind, verwendet man auch das Zeichen $\dot{\cup}$.

Zwar wird die Vereinigung $A \cup B$ durch den Junktor $\or$ (oder) definiert - die Verwendung der Zeichen ist in diesem Fall intuitiv.

• die disjunkte Vereinigung $A\mathbin{\dot{\cup}} B$ darf jedoch nicht mit der Mengenoperation verwechselt werden,
• die durch den Junktor $\dot\vee$ (ausschließendes oder) definiert wird, also der symmetrischen Differenz - die Verwendung der Zeichen ist in diesem Fall kontraintuitiv.

Für die Verwendung dieser Zeichen gibt es jedoch keine allgemein anerkannten Konventionen, es ist also im Einzelfall zu prüfen, ob ein Autor mit meint.

Differenz (Differenzmenge)

Differenz $A \setminus B$

Die Differenz zweier Mengen erhält man, indem man alle Elemente zusammenfasst, die in A, aber nicht in B enthalten sind. Das Zeichen dafür ist $\setminus$. Die Differenz ist im Gegensatz zu Schnitt und Vereinigung weder kommutativ noch assoziativ.

Formal: Es gilt $x \in A \setminus B$, wenn $x \in A$ und $x \not\in B$.

Beispiele für Mengenoperationen

Wir betrachten die Mengen X = {1,2,3}, A = {1,2} und B = {1,3}. Es gelten:

• $2\in A$, $2\notin B$
• $A\subset X$, $B\subset X$, $X\subseteq X$
• $A\subset X$, $B\subset X$, $A\nsubseteq B$
• $A\cap B = \{1\}$
• $A\cup B = X$
• Für die Komplemente bezüglich X gilt $A^{\mathsf C} = \{3\}$, $B^{\mathsf C} = \{2\}$, $X^{\mathsf C}=\emptyset$, $\emptyset^{\mathsf C}=X$.
• $A\setminus B = \{2\}$, $B\setminus A = \{3\}$, $X\setminus A = \{3\}$, $A\setminus X = \emptyset$
• $A\triangle B = \{2,3\}$, $A\triangle X = \{3\}$, $B\triangle X = \{2\}$
• | X | = 3, | A | = | B | = 2, $|\emptyset|$ = 0, $\left|\{\emptyset\}\right|$ = 1
• $\mathcal P(A) = \{\emptyset,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}$
• $\mathcal P(X) = \{\emptyset, A\cap B, B^{\mathsf C}, B\setminus A, A, B, A\triangle B, A \cup B\}$
• $A\times B = \{(1,1),(1,3),(2,1),(2,3)\}$, $A\times\{3\} = \{(1,3),(2,3)\}$, A² = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}, {3}³ = {(3,3,3)}
• $\emptyset\notin\emptyset$, $\emptyset\in\{\emptyset\}$, $\emptyset\subset A$
• $\mathcal P(\emptyset) = \{\emptyset\}$, $\mathcal P\left(\{\emptyset\}\right) = \{\emptyset,\{\emptyset\}\}$
• $A\times\emptyset = \emptyset\times A = \emptyset$

Konkretere Beispiele sind hier nochmals benannt.

• Die Menge aller zweistelligen „Schnapszahlen“ lautet $\lbrace 11, \, 22, \, 33, \, 44, \, 55, \, 66, \, 77, \, 88, \, 99 \rbrace$. 33 ist ein Element dieser Menge, 23 ist es nicht.
• Die Menge der natürlichen Zahlen $\mathbb{N} = \lbrace 1, \, 2, \, 3, \ldots \rbrace$ ist eine echte Teilmenge der Menge der ganzen Zahlen $\mathbb{Z} = \lbrace \ldots, -3, \, -2, \, -1, \, 0, \, 1, \, 2, \, 3, \ldots \rbrace$.

Weitergehende Begriffe

• Teilmengen der reellen Geraden, der Ebene oder des dreidimensionalen euklidischen Raumes werden aus historischen Gründen oder, um einen Hinweis auf die darin enthaltenen Elemente zu geben, oft Punktmengen genannt. Dieser Begriff bezeugt die geometrische Herkunft der Mengenlehre.
• In der modernen Mathematik werden die Zahlenbereiche rein mit den Methoden der Mengenlehre (mit der leeren Menge als einzigem Grundbaustein) schrittweise aufgebaut, von den natürlichen Zahlen über die ganzen Zahlen und die rationalen Zahlen zu den reellen Zahlen (und evtl. weiter zu den komplexen Zahlen und noch darüber hinaus).
• In der Schule hat die Mengenlehre unter dem Schlagwort Neue Mathematik zeitweise große Bedeutung erlangt.
• Bei unendlichen Mengen treten besondere Phänomene hinsichtlich der üblichen Ordnungsrelationen auf.
• Zur Veranschaulichung der Beziehungen zwischen Mengen dienen Mengendiagramme.
• Beziehungen zwischen den Elementen einer Menge und denen einer anderen werden durch „Zuordnungen“ (Relationen) beschrieben, eindeutige Zuordnungen durch „Abbildungen“ (Funktionen).

Literatur

• Klaus Kursawe: Mengen, Zahlen, Operationen. Scripta Mathematica. Aulis Verlag Deubner, Köln 1973, ISBN 3-7614-0176-0.
• Hans-Dieter Gerster: Aussagenlogik, Mengen, Relationen. Studium und Lehre Mathematik. Franzbecker, Hildesheim 1998, ISBN 3-88120-287-0.
• Adolf Fraenkel: Einleitung in die Mengenlehre. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 1928, Dr. Martin Sändig oHG, Walluf 1972 (Repr.), ISBN 3-500-24960-4.
• Erich Kamke: Mengenlehre. 6. Aufl. Walter de Gruyter, Berlin 1969.
• Paul R. Halmos: Naive Mengenlehre. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1968, ISBN 3-525-40527-8.
• H. Schinköthe: Mengen und Längen, Lehrbuch der elementaren Grundlagen mathematischen Denkens und seiner Entwicklung für die Bereiche: Kindergarten, Vorschule, Grundschule, Sonderschule, Rechenschwächetherapie. RESI, Volxheim 2000 (Libri/BoD), ISBN 3-8311-0701-7.
• Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre. Die Mengenlehre Georg Cantors und ihre Axiomatisierung durch Ernst Zermelo. 3. Auflage. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg 2010, ISBN 978-3-642-01444-4, doi:10.1007/978-3-642-01445-1.

Einzelnachweise

1. ↑ Bernard Bolzano: Einleitung zur Grössenlehre und erste Begriffe der allgemeinen Grössenlehre. In: Jan Berg (Hrsg.): Bernard-Bolzano-Gesamtausgabe, Hg. von Eduard Winter et al.. Reihe II, A, Band 7, Friedrich Frommann Verlag, Stuttgart, Bad Cannstatt 1975, ISBN 3-7728-0466-7, S. 152.
2. ↑ So erklärt in Bertrand Russell, Alfred North Whitehead: Principia Mathematica. 1 Auflage. Cambridge University Press, Cambridge 1910–1913 (S. 26, Online-version der Universität Michigan, abgerufen am 23. Oktober 2011). und bereits früher bei Peano

Weblinks

 Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Mengenlehre – Lern- und Lehrmaterialien