Potenzregeln

Die Potenzregel ist in der Mathematik eine der Grundregeln der Differentialrechnung. Sie dient der Ermittlung der Ableitung von Potenzfunktionen f(x) = xⁿ. Sie lautet:

$f'(x) = ( x^n )' = n \cdot x^{n-1}$.

Beispielsweise ist $( x^4 )' = 4 \cdot x^3$.

Verallgemeinerung

Die Potenzregel gilt auch für Potenzfunktionen f(x) = x^s, deren Exponent (Hochzahl) s keine ganze Zahl ist:

$f'(x) = s \cdot x^{s-1}, \quad s \in \R$

Herleitung

1. Fall: Der Exponent ist eine natürliche Zahl

Die Ableitung einer Potenzfunktion an der Stelle x ist der Grenzwert:

$( x^n )' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x + \Delta x)^n - x^n}{\Delta x}$.

Nach dem binomischen Lehrsatz ist dies gleich

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{{n \choose 0} x^n + {n \choose 1} x^{n-1} {\Delta x} + {n \choose 2} x^{n-2} {\Delta x}^2 + \dots + {n \choose n-1} x {\Delta x}^{n-1} + {n \choose n} {\Delta x}^n - x^n}{\Delta x}$

geschrieben mit so genannten Binomialkoeffizienten. Daraus folgt dann die Potenzregel:

$( x^n )'= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{{n \choose 1} x^{n-1} {\Delta x} + {n \choose 2} x^{n-2} {\Delta x}^2 + \dots + {n \choose n-1} x {\Delta x}^{n-1} + {n \choose n} {\Delta x}^n}{\Delta x}$

$= \lim_{\Delta x \to 0} {n \choose 1} x^{n-1} + {n \choose 2} x^{n-2} {\Delta x} + \dots + {n \choose n-1} x {\Delta x}^{n-2} + {n \choose n} {\Delta x}^{n-1}$

$= {n \choose 1} x^{n-1} = n \cdot x^{n-1}$.

Bildlich veranschaulicht wächst ein 'n-dimensionaler Würfel' in genau n Richtungen (entlang den n Koordinatenachsen) um '(n-1)-dimensionale Würfel' an. Ein Quadrat wächst (bzw. kristallisiert) also marginal um 2 Seitenlinien, und ein Würfel wächst um 3 Quadrate.

2. Fall: Beliebiger Exponent

Man benutzt die Darstellung mithilfe der Exponentialfunktion: $x^s = (e^{\ln x})^s = e^{s \cdot \ln x}$ und leitet ab mithilfe der Kettenregel und der Ableitungsregel für die Exponentialfunktion:

$(x^s)'= (e^{s \cdot \ln x})' = e^{s \cdot \ln x} \cdot (s \cdot \ln x)'$

Für die innere Ableitung benutzt man die Faktorregel und die Regel für die Ableitung der Logarithmusfunktion:

$(s \cdot \ln x)'= s \cdot \frac 1 x$

Indem man dies einsetzt und für $(e^{s \cdot \ln x})$ wieder x^s schreibt, erhält man

$(x^s)' = x^s \cdot s \cdot \frac 1 x = s \cdot x^{s-1}$

Diese Herleitung gilt nur für $x \ne 0$. Für s > 1 ist die Funktion f(x) = x^s aber auch an der Stelle x = 0 differenzierbar und die Regel gilt auch an der Stelle x = 0. Man berechnet direkt mithilfe des Differenzenquotients:

$f'(0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(\Delta x)^s - 0^s}{\Delta x -0} = \lim_{\Delta x \to 0} (\Delta x)^{s-1} = 0 = s \cdot 0^{s-1}$