Potenzreihe

Unter einer Potenzreihe versteht man in der Analysis eine unendliche Reihe der Form

$\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n.$

$(a_n)_{n \in \mathbb N_0}$ ist hierbei eine beliebige Folge von reellen oder komplexen Zahlen. x₀ wird als der Entwicklungspunkt der Potenzreihe bezeichnet.

Hinsichtlich der Konvergenz sind drei Fälle möglich: Die Reihe konvergiert entweder

• nur für x = x₀, oder

• auf einem Intervall (reelle Zahlengerade) bzw. auf einer Kreisscheibe mit Mittelpunkt x₀ (komplexe Ebene), dem sogenannten Konvergenzkreis, oder

• auf ganz $\mathbb{R}$ bzw. $\mathbb{C}$.

Konvergenzradius

Als Konvergenzradius einer Potenzreihe an der Stelle x₀ ist die größte Zahl r definiert, für welche die Potenzreihe für alle x mit | x − x₀ | < r konvergiert. Der Konvergenzradius ist also der Radius des Konvergenzkreises. Falls die Reihe für alle x konvergiert, so sagt man, der Konvergenzradius ist unendlich. Konvergiert sie nur für x₀, so ist der Konvergenzradius 0, dies wird manchmal auch nirgendskonvergent genannt.

Bei Potenzreihen lässt sich der Konvergenzradius r mit der Formel von Cauchy-Hadamard berechnen. Es gilt:

$r = \frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}(\sqrt[n]{|a_n|})}.$

In vielen Fällen kann der Konvergenzradius bei Potenzreihen mit nicht-verschwindenden Koeffizienten einfacher auf folgende Weise berechnet werden. Es gilt nämlich

$r = \lim_{n\rightarrow\infty} \left| \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \right|,$

sofern dieser Limes existiert. Folgerungen aus dem Konvergenzradius:

• $|x-x_0|<r \Rightarrow$ Die Potenzreihe ist absolut konvergent.
• $|x-x_0|>r \Rightarrow$ Die Potenzreihe ist divergent.
• $|x-x_0|=r \Rightarrow$ Hier lassen sich keine allgemeinen Konvergenzaussagen treffen, dieser Fall ist für jedes x jeweils separat zu untersuchen (siehe hierzu auch: Abelscher Grenzwertsatz).
• Ist $|x-x_0|\leq r^{\prime}<r$, so konvergiert die Potenzreihe gleichmäßig für alle x mit $|x-x_0|\leq r^{\prime}$. Auf einem inneren Kreis oder Teilintervall liegt also auch immer eine gleichmäßige Konvergenz vor.

Operationen mit Potenzreihen

Addition und skalare Multiplikation

Sind f und g zwei Potenzreihen

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n$

$g(x) = \sum_{n=0}^\infty b_n (x-x_0)^n$

mit dem Konvergenzradius r und ist c eine reelle beziehungsweise komplexe Zahl, dann sind auch f + g und cf wieder Potenzreihen mit Konvergenzradius mindestens r und es gilt

$f(x)+g(x) = \sum_{n=0}^\infty (a_n + b_n) (x-x_0)^n$

$cf(x) = \sum_{n=0}^\infty (c a_n) (x-x_0)^n .$

Multiplikation

Das Produkt zweier Potenzreihen mit dem Konvergenzradius r ist ebenfalls eine Potenzreihe mit einem Konvergenzradius, der mindestens r ist. Es gilt

$\begin{align} f(x)g(x) &= \left(\sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-x_0)^n\right)\\ &= \sum_{i=0}^\infty \sum_{j=0}^\infty a_i b_j (x-x_0)^{i+j} = \sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}\right) (x-x_0)^n \end{align}$

Die Folge $\textstyle m_n = \sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}$ ist dabei die Faltung der beiden Folgen (a_n) und (b_n).

Differentiation und Integration

Eine Potenzreihe ist im Inneren ihres Konvergenzkreises differenzierbar und die Ableitung ergibt sich durch gliedweise Differentiation.

$f^\prime (x) = \sum_{n=1}^\infty a_n n \left( x-x_0 \right)^{n-1}= \sum_{n=0}^\infty a_{n+1} \left(n+1 \right) \left( x-x_0 \right)^{n}$

Analog erhält man eine Stammfunktion durch gliedweise Integration einer Potenzreihe.

$\int f(x)\,dx = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n \left( x-x_0 \right)^{n+1}} {n+1} + C = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_{n-1} \left( x-x_0 \right)^{n}} {n} + C$

In beiden Fällen entspricht der Konvergenzradius dem der ursprünglichen Reihe.

Beispiele

Jede Polynomfunktion lässt sich als Potenzreihe mit Konvergenzradius unendlich auffassen, wobei alle Koeffizienten a_n mit Ausnahme von endlich vielen gleich 0 sind. Wichtige andere Beispiele sind auch Laurent-Reihen, Taylorreihen und die MacLaurin'sche Reihe. Hier noch beispielhaft die Reihenentwicklungen einiger bekannter Funktionen:

• Exponentialfunktion: $e^x = \exp(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \quad \mathrm{f\ddot{u}r\ alle}\ x \in \mathbb{R}$, d. h. der Konvergenzradius ist unendlich.

• Logarithmusfunktion: $\ln(1+x) = \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} \frac{x^k}{k}= x-\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} -\frac{x^4}{4}+ \cdots \quad \mathrm{f\ddot {u}r} \quad -1 < x \leq 1$ , d. h. der Konvergenzradius ist 1. Für x = 1 ist die Reihe konvergent, für x = − 1 divergent.

• Wurzelfunktion: $\sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2} x-\frac{1}{2\cdot4} x^2+\frac{1\cdot3}{2\cdot4\cdot6} x^3 - \cdots \quad \mathrm{f\ddot{u}r} \quad -1 \leq x \leq 1$, d. h. der Konvergenzradius ist 1 und die Reihe konvergiert sowohl für x = 1 als auch für x = − 1.

Literatur

• Kurt Endl/Wolfgang Luh: Analysis II. Aula-Verlag 1973, 7-te Auflage 1989, ISBN 3-89104-455-0, S. 85-89, 99
• E.D. Solomentsev: Power series in der Encyclopaedia of Mathematics