Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit

Der Satz von Banach-Steinhaus oder das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit ist eines der fundamentalen Ergebnisse der Funktionalanalysis und bildet zusammen mit dem Satz von Hahn-Banach und dem Offenheitssatz einen der Eckpfeiler des Gebiets. Er besagt in seiner Grundform, dass für eine Familie stetiger, linearer Operatoren auf einem Banachraum punktweise Beschränktheit äquivalent zu Beschränktheit ist.

Hugo Steinhaus und Stefan Banach veröffentlichten den Satz 1927. Er wurde jedoch unabhängig davon auch von Hans Hahn bewiesen.

Satz von Banach-Steinhaus

Sei X ein Banachraum, N ein normierter Vektorraum und F eine Familie stetiger, linearer Operatoren von X nach N.

Dann gilt:

$\sup \left\{\,||T_\alpha (x)|| : T_\alpha \in F \,\right\} < \infty \quad \forall x \in X$

$\Rightarrow\ \sup \left\{\, ||T_\alpha|| : T_\alpha \in F \;\right\} < \infty.$

Beweis

Unter Verwendung des Baire'schen Kategoriensatzes:

Für $n = 1, 2, 3, \ldots$ sei $X_n = \left\{ x \in X | \forall T \in F: ||T(x)|| \leq n\right\}$. Nach Annahme ist die Vereinigung aller X_n gleich X.

Da X von 2. Baire-Kategorie ist, hat eines der X_n einen inneren Punkt, d.h. es gibt ein δ > 0 und ein $y \in X$, sodass

$\forall x \in X : ||x - y|| < \delta \Rightarrow x \in X_n.$

Für jedes z mit | | z | | < δ gilt dann:

$\forall T \in F: ||T(z)|| \leq ||T(y - z)|| + ||T(y)|| \leq n + n = 2n.$

Also ist $||T|| \leq \frac{2n}{\delta}$ für alle $T \in F$, sodass $\frac{2n}{\delta}$ eine gleichmäßige Schranke für die Menge F ist.

Verallgemeinerung

Die allgemeine Form des Satzes gilt für tonnelierte Räume (auch als gefasste Räume bezeichnet):

X sei ein gefasster Raum, Y ein lokal konvexer Raum. Dann gilt: Jede Familie punktweise beschränkter, stetiger, linearer Operatoren von X nach Y ist gleichgradig stetig (sogar gleichmäßig gleichgradig stetig).

Dabei werden folgende Definitionen verwendet:

Eine Teilmenge S eines topologischen Vektorraums heißt Tonne oder gefasst , falls sie konvex, balanciert (d. h. $\alpha S \subseteq S\ \forall \alpha$ mit $\left| \alpha \right|=1$), absorbierend (d. h. $\forall x\ \exists r \ \forall \alpha \in \mathbb{F} : \vert \alpha \vert \ge r \Rightarrow x \in \alpha S$) und abgeschlossen ist. Die Eigenschaften konvex und balanciert können auch mit der Eigenschaft absolutkonvex zusammengefasst werden.

Ein topologischer Vektorraum heißt gefasst oder tonneliert, falls jede gefasste Menge (Tonne) eine Umgebung des Nullvektors ist. Tonnelierte Räume sind lokal konvex.

Literatur

• Stefan Banach, Hugo Steinhaus. "Sur le principle de la condensation de singularités". Fundamenta Mathematicae, 9 50-61, 1927.