- Satz von Banach-Steinhaus
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Der Satz von Banach-Steinhaus oder das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit ist eines der fundamentalen Ergebnisse der Funktionalanalysis und bildet zusammen mit dem Satz von Hahn-Banach und dem Offenheitssatz einen der Eckpfeiler des Gebiets. Er besagt in seiner Grundform, dass für eine Familie stetiger, linearer Operatoren auf einem Banachraum punktweise Beschränktheit äquivalent zu Beschränktheit ist.
Hugo Steinhaus und Stefan Banach veröffentlichten den Satz 1927. Er wurde jedoch unabhängig davon auch von Hans Hahn bewiesen.
Inhaltsverzeichnis
Satz von Banach-Steinhaus
Sei X ein Banachraum, N ein normierter Vektorraum und F eine Familie stetiger, linearer Operatoren von X nach N.
Dann folgt aus der punktweisen Beschränktheit
für alle
die gleichmäßige Beschränktheit
Beweis
Unter Verwendung des Baire'schen Kategoriensatzes:
- Für
sei
. Nach Annahme ist die Vereinigung aller Xn gleich X.
- Da X von 2. Baire-Kategorie ist, hat eines der Xn einen inneren Punkt, d.h. es gibt ein δ > 0 und ein
, sodass
- Für jedes z mit | | z | | < δ gilt dann:
- Also ist
für alle
, sodass
eine gleichmäßige Schranke für die Menge F ist.
Folgerung
- Jede schwach konvergente Folge eines normierten Vektorraums ist beschränkt.
Verallgemeinerung
Die allgemeine Form des Satzes gilt für tonnelierte Räume:
Ist X ein tonnelierter Raum, Y ein lokalkonvexer Raum, so gilt: Jede Familie punktweise beschränkter, stetiger, linearer Operatoren von X nach Y ist gleichgradig stetig (sogar gleichmäßig gleichgradig stetig).
Die tonnelierten Räume sind gerade diejenigen lokalkonvexen Räume, in denen der Satz von Banach-Steinhaus gilt.
Literatur
- Stefan Banach, Hugo Steinhaus. "Sur le principle de la condensation de singularités". Fundamenta Mathematicae, 9 50-61, 1927.
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