Produktsatz von Weierstraß

Der Weierstraßsche Produktsatz für $\mathbb{C}$ besagt, dass zu einer vorgegebenen Nullstellenverteilung in $\mathbb{C}$ eine holomorphe Funktion mit genau diesen Nullstellen existiert. Die Funktion kann als sogenanntes Weierstraß-Produkt explizit konstruiert werden. Der Satz wurde 1876 von Karl Weierstraß gefunden.

Motivation

Zu endlich vielen Nullstellen $a_1, \dots a_n \; \in \mathbb{C}$ kann man sofort ein Polynom hinschreiben, welches das gestellte Problem löst, beispielsweise $\left(1 - \frac{z}{a_1}\right) \cdots \left(1 - \frac{z}{a_n} \right)$. Im Falle (abzählbar) unendlich vieler Nullstellen wird das Produkt im allgemeinen nicht mehr konvergieren. Ausgehend von der Identität $1 - z = \exp(\log(1 - z)) = \exp\left(- \sum_{k=1}^\infty \frac{z^k}{k}\right), \quad z \in \mathbb{C}, |z| < 1,$ führte Weierstraß deshalb "konvergenzerzeugende" Faktoren ein, indem er die Reihenentwicklung abbrach und Faktoren $E_n(z) := (z-1) \exp\left(\sum_{k=1}^n \frac{z^k}{k}\right)$ definierte. E_n hat nur eine Nullstelle bei 1, kann aber im Gegensatz zu 1 − z auf jeder kompakten Teilmenge des Einheitskreises beliebig nahe an 1 liegen, sofern n groß genug gewählt wird. Dadurch kann auch die Konvergenz eines unendlichen Produktes erreicht werden.

Weierstraß-Produkt

Es sei D ein positiver Divisor im Bereich $\Omega \subseteq \mathbb{C}$ und a_k eine so gewählte Folge, dass $D = D(0) \cdot 0 + \sum_k a_k$; Das heißt, die Folge durchläuft mit Ausnahme des Nullpunktes alle Punkte des Trägers von D mit der nötigen Multiplizität. Sie heißt die zum Divisor D gehörende Folge. Ein Produkt $z^{D(0)} \prod_{k \geq 1} f_k(z)$ heißt Weierstrass-Produkt zum Divisor D, falls gilt:

• f_k holomorph in Ω
• f_k hat genau eine Nullstelle, und zwar in a_k und von der Multiplizität 1
• Das Produkt $\textstyle \prod_k f_k$ konvergiert normal auf jeder kompakten Teilmenge von Ω.

Produktsatz in $\mathbb{C}$

Zu jedem positiven Divisor D in $\mathbb{C}$ existieren Weierstrass-Produkte der Form $z^{D(0)} \prod_{k \geq 1} E_{k-1}\left(\frac{z}{a_k}\right)$. Dabei sei a_k die zum Divisor D gehörende Folge.

Folgerungen in $\mathbb{C}$

• Zu jedem Divisor gibt es eine meromorphe Funktion mit den dadurch vorgegebenen Null- und Polstellen. Jeder Divisor ist ein Hauptdivisor.
• Zu jeder meromorphen Funktion h gibt es zwei holomorphe Funktionen f,g ohne gemeinsame Nullstellen derart, dass h = f / g. Insbesondere ist der Körper der meromorphen Funktionen der Quotientenkörper des Integritätsbereichs der holomorphen Funktionen.
• Im Ring der holomorphen Funktionen besitzt jede nicht-leere Teilmenge einen größten gemeinsamen Teiler, obwohl der Ring nicht faktoriell ist.

Verallgemeinerung für beliebige Bereiche

Es sei $\Omega \subseteq \mathbb{C}$ ein Bereich und D ein positiver Divisor auf Ω mit Träger T und es bezeichne $T' := \overline{T}\!\setminus\!T$ die Menge aller Häufungspunkte von T in $\mathbb{C}$. Dann existieren zum Divisor D Weierstraß-Produkte in $\mathbb{C}\!\setminus\!T'$. Sie konvergieren im Allgemeinen also auf einem größeren Bereich als Ω.

Verallgemeinerung für Steinsche Mannigfaltigkeiten

Eine erste Verallgemeinerung des Produktsatzes für andere komplexe Mannigfaltigkeiten gelang 1895 Pierre Cousin, der den Satz für Zylindergebiete im $\mathbb{C}^n$ bewies. Aus diesem Grund wird die Frage, ob zu einem vorgegebenem Divisor eine passende meromorphe Funktion konstruiert werden kann, auch als Cousin-Problem bezeichnet.

Jean-Pierre Serre löste 1953 das Cousin-Problem endgültig und zeigte: In einer Steinschen Mannigfaltigkeit X ist ein Divisor genau dann der Divisor einer meromorphen Funktion, wenn seine Chernsche Kohomologieklasse in $H^2(X, \mathbb{Z})$ verschwindet. Insbesondere ist in einer Steinschen Mannigfaltigkeit mit $H^2(X, \mathbb{Z}) = 0$ jeder Divisor ein Hauptdivisor. Dies ist die unmittelbare Folgerung daraus, dass in Steinschen Mannigfaltigkeiten folgende Sequenz exakt ist, wobei $\mathcal{D}$ die Garbe der Divisoren bezeichnet:

$0 \to \mathcal{O}^*(X) \to \mathcal{M}^*(X) \to \mathcal{D}(X) \rightarrow H^2(X, \mathbb{Z}) \to 0$

Literatur

• Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 2. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-57052-3
• Hans Grauert, Reinhold Remmert: Theory of Stein Spaces. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-00373-8