Pseudobetrag

Ein Pseudobetrag ist eine abgeschwächte Variante eines Betrags.

Definition

Sei R ein unitärer Ring. Eine Abbildung $|\cdot|:R\to\R_+$ in die nichtnegativen reellen Zahlen heißt ein Pseudobetrag, wenn für alle $a,b\in R$ folgende Eigenschaften gelten:

(1)$|a|=0\;\Leftrightarrow\; a=0$ (Definitheit)

(2)$|a-b|\leq |a|+|b|$

(3)$|a\cdot b|\leq |a|\cdot |b|$ (Submultiplikativität)

Wird (3) verschärft zu

(3a)$|a\cdot b|= |a|\cdot |b|$ (Multiplikativität),

so heißt $|\cdot|$ ein Betrag.

Der Pseudobetrag $|\cdot|$ heißt nicht-archimedisch, wenn

(4)$|a+b|\leq \max(|a|,|b|)$

gilt.

Eigenschaften

• Für einen Pseudobetrag gelten stets

| − a | = | a |

und

$|a+b|\leq |a|+|b|$ (Dreiecksungleichung).

• Für einen Pseudobetrag gilt stets $|1|\geq 1$, für einen Betrag gilt sogar | 1 | = 1.
• Jeder unitäre Ring mit Betrag ist notwendigerweise bereits ein Integritätsring (durch die Multiplikativität vererbt sich die Nullteilerfreiheit der reellen Zahlen auf den Ring).

Beispiele

Sei $(R,|\cdot |)$ ein unitärer Ring mit Pseudobetrag.

Polynomringe mit Pseudobetrag

Dann sind die Polynomalgebren R[X] in einer bzw. $R[X_1,\ldots,X_n]$ in mehreren Veränderlichen selbst wiederum unitäre Ringe (mit der Polynommultiplikation). Die 1-Pseudonorm ist auf diesen Polynomringen ein Pseudobetrag.

Matrizenringe mit Pseudobetrag

Analog sind die Matrizenalgebren $R^{n\times n}$ wiederum unitäre Ringe (hier mit der Matrizenmultiplikation). Hier ist sogar die p-Pseudonorm für jedes reelle p mit $1\leq p\leq 2$ ein Pseudobetrag auf dem Matrizenring.