Punkt (Mathematik)

Ein Punkt ist ein grundlegendes Element der Geometrie. Anschaulich stellt man sich darunter ein Objekt ohne jede Ausdehnung vor. Beim axiomatischen Zugang zur Geometrie (Synthetische Geometrie) existieren gleichberechtigt neben den Punkten auch andere Klassen von geometrischen Objekten, wie zum Beispiel die Geraden. In der Analytischen Geometrie und der Differentialgeometrie werden dagegen alle anderen geometrischen Objekte als Mengen von Punkten definiert. In der Funktionalanalysis können Funktionen als Punkte eines Funktionenraumes betrachtet werden. In der Höheren Geometrie werden zum Beispiel Ebenen eines dreidimensionalen projektiven Raumes als Punkte des zugehörigen Dualraums aufgefasst.

Synthetische Geometrie

Der griechische Philosoph Euklid definierte um 300 v. Chr. den Punkt in seinen Elementen als etwas, das keine Teile hat. Für Sätze und ihre Beweise spielt diese Definition jedoch keine Rolle. Moderne Axiomensysteme verzichten daher auf eine solche Definition.

Ein Punkt ist in diesem Fall ein Begriff, auf den die einzelnen Axiome Bezug nehmen. Ein Beispiel ist das erste Axiom aus Hilberts Axiomensystem:

Zwei voneinander verschiedene Punkte P und Q bestimmen stets eine Gerade g.

Die Bedeutung des Begriffs Punkt ergibt sich aus der Gesamtheit des Axiomensystems. Eine Interpretation als Objekt ohne Ausdehnung ist nicht zwingend.

In der projektiven Ebene sind die Begriffe Punkt und Gerade sogar vollständig austauschbar. Damit ist es hier möglich, sich eine Gerade als unendlich klein und einen Punkt als unendlich lang und unendlich dünn vorzustellen.

Analytische Geometrie

In der analytischen Geometrie wird der geometrische Raum als n-dimensionaler Vektorraum über einem Körper K dargestellt. Jedes Element dieses Vektorraums wird als Punkt bezeichnet. Eine Basis legt ein Koordinatensystem fest und die Komponenten eines Vektors bezüglich dieser Basis werden als die Koordinaten des Punktes bezeichnet. Ein Punkt hat dabei die Dimension Null.

Alle anderen geometrischen Objekte werden als Mengen von Punkten definiert. So wird etwa eine Gerade als eindimensionaler affiner Unterraum und eine Ebene als zweidimensionaler affiner Unterraum definiert. Eine Sphäre wird als die Menge der Punkte definiert, die zum Mittelpunkt einen bestimmten Abstand haben.

Differentialgeometrie

In der Differentialgeometrie werden die Elemente einer Mannigfaltigkeit als Punkte bezeichnet. Dies sind in diesem Fall keine Vektoren, ein Punkt kann aber mit Hilfe einer lokalen Karte mit Koordinaten versehen werden.

Zitate

Von Oskar Perron stammt die folgende Bemerkung ^[1]:

„Ein Punkt ist genau das, was der intelligente, aber harmlose, unverbildete Leser sich darunter vorstellt.“

Literatur

• Manon Baukhage: Der Punkt. Zugegeben, er macht nicht viel her - so klein wie er sich gibt. Tatsächlich aber gehört er zu den großen Rätseln der Welt; in: "P.M. - Peter Moosleitners Magazin Nr. 2/2005 (München: Februar 2005); S. 58-65.

Einzelnachweise

1. ↑ Oskar Perron: Nichteuklidische Elementargeometrie der Ebene, Stuttgart 1962