Punktspektrum

Das Spektrum eines (linearen) Operators ist ein Begriff aus der Funktionalanalysis, einem Teilgebiet der Mathematik. In der endlichdimensionalen linearen Algebra betrachtet man bei Matrizen und Endomorphismen ihre Eigenwerte. Die Verallgemeinerung ins unendlichdimensionale wird in der Funktionalanalysis betrachtet. Das Spektrum eines Operators kann man sich als Menge verallgemeinerter Eigenwerte vorstellen.

Definition

Das Spektrum eines Operators A ist die Menge aller Elemente z des Zahlenkörpers (meistens die komplexen Zahlen), so dass die Differenz des Operators mit dem z-fachen Einsoperator

A - z 1

nicht (beschränkt) invertierbar ist. Das Spektrum des Operators wird mit σ(A) bezeichnet und die Elemente des Spektrums heißen Spektralwerte.

Diese Definition lässt sich in verschiedenen Kontexten anwenden.

• Das Spektrum so genannter eigentlicher Operatoren, das heißt lineare Abbildungen eines Vektorraumes auf sich, lässt sich wie oben beschrieben definieren, wenn der Operator auf dem ganzen Vektorraum definiert ist ( A : V→V ). Der Begriff der Invertierbarkeit in obiger Definition bezeichnet dann die Existenz eines Operators R_z:V→V, der ebenfalls auf dem ganzen Vektorraum definiert sein muss und
  R_z A=A, also R_z=1 erfüllt. Die Definition lässt sich für Operatoren auf normierten Vektorräumen aber auch in solchen Fällen anwenden, in denen der Operator nur auf einer dichten Teilmenge des Vektorraumes definierbar ist (so genannte unbeschränkte Operatoren A : D(A)→V mit Definitionsbereich D(A) ). In diesem Fall wird allerdings das in Klammern gesetzte Wort „beschränkt“ wichtig, denn die Inverse in obiger Definition darf für einen Spektralwert zwar im Sinne von unbeschränkten Operatoren existieren, aber sie darf kein beschränkter Operator sein.
• Für abstrakte Operatoren im Sinne von Elementen einer Operatoralgebra kann die obige Definition des Spektrums ohne den Zusatz des Wortes „beschränkt“ gelesen werden. Unter einer Operatoralgebra versteht man für gewöhnlich eine Banachalgebra mit Einselemement und die Inversion von Elementen macht in diesem Kontext nur Sinn, wenn die Inverse wiederum ein Element dieser Algebra ist. Da solche Operatoren nicht durch ihre Wirkung auf irgendeinen Vektorraum definiert sind (also eigentlich gar nicht operieren), gibt es auch kein a priori Konzept der Beschränktheit solcher abstrakter Operatoren. Allerdings kann man solche abstrakten Operatoren immer als lineare Operatoren auf einem Vektorraum darstellen, z. B. als Multiplikationsoperatoren auf der Banachalgebra selbst. Dann werden diese Operatoren zu eigentlichen und beschränkten Operatoren auf einem Banachraum.

Einfache Beispiele

Die abstrakte Definition oben lässt sich leichter verstehen, wenn man einfache Beispiele betrachtet:

Matrizen

In der linearen Algebra bilden die n×n-Matrizen mit komplexen Einträgen eine Algebra bezüglich der üblichen Addition und Skalarmultiplikation (komponentenweise) sowie der Matrixmultiplikation. Die n×n-Matrizen können daher sowohl als Beispiel für eigentliche Operatoren in ihrer Eigenschaft als lineare Abbildungen des Cⁿ → Cⁿ angesehen werden, als auch als Beispiel einer Operatoralgebra, wobei es in diesem Kontext unerheblich ist, welche Operatornorm für die Matrizen gewählt wird. Da alle linearen Abbildungen eines endlichdimensionalen Raumes auf sich automatisch beschränkt sind, kann dieser Begriff in der Definition hier außer acht gelassen werden.

Eine Matrix A ist invertierbar, wenn es eine Matrix B gibt, so dass A · B = B · A = 1 (Einheitsmatrix) ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn die Determinante nicht verschwindet: det A ≠ 0. Daher ist eine Zahl z ∈ C dann ein Spektralwert, wenn det (A - z 1) = 0 gilt. Da dies aber gerade das charakteristische Polynom der Matrix A in z ist, ist z genau dann ein Spektralwert, wenn z ein Eigenwert der Matrix ist. In der linearen Algebra bezeichnet das Spektrum einer Matrix daher die Menge der Eigenwerte.

Funktionen

Die stetigen Funktionen auf dem Intervall [0,1] mit Werten in den komplexen Zahlen C bilden (z. B. mit der Supremumsnorm als Norm, die hier aber nicht von Belang ist) eine Banachalgebra, wobei die Summe zweier Funktionen und das Produkt zweier Funktionen punktweise definiert wird:

$(f+g)(x)=f(x)+g(x) \quad (f \cdot g)(x)=f(x) \cdot g(x).$

Eine Funktion f heißt dann in dieser Algebra invertierbar, wenn es eine andere Funktion g gibt, so dass f·g(=g·f)=1 (Einsfunktion) ist, das heißt wenn es eine Funktion g gibt, deren Werte gerade die Kehrwerte von f sind. Man sieht nun schnell ein, dass eine Funktion genau dann invertierbar ist, wenn sie nicht den Funktionswert 0 besitzt und die Inverse in diesem Fall punktweise die inversen Funktionswerte (Kehrwerte) der ursprünglichen Funktion besitzt:

f ^{− 1}(x) = (f(x)) ^{− 1} = 1 / f(x), wenn $f(x)\neq 0$ überall.

Eine Zahl z ∈ C ist also ein Spektralwert, wenn die Funktion f-z nicht invertierbar ist, also den Funktionswert 0 besitzt. Dies ist natürlich genau dann der Fall, wenn z ein Funktionswert von f ist. Das Spektrum einer Funktion ist daher genau ihr Bild.

Allgemeine Fälle

Die Spektraltheorie von Operatoren lässt sich im allgemeinen nur dann in einem gewissen Umfang ausbauen, wenn die Menge der zu betrachtenden Operatoren spezifiziert wird. Der Zahlenkörper sei im Folgenden immer $\mathbb C$, besonders umfangreich ist die Theorie dann in zwei Fällen:

Banachalgebren

Die Spektraltheorie der Elemente von Banachalgebren mit Eins ist eine Abstraktion der Theorie beschränkter linearer Operatoren auf einem Banachraum. Die einführenden Beispiele sind Spezialfälle dieser Theorie, wobei im ersten Beispiel die Norm der betrachteten Funktionen zu spezifizieren ist. Wählt man z. B. den Banachraum der stetigen Funktionen auf einem kompakten Raum mit der Supremumsnorm, so stellt dieses Beispiel den wohl wichtigsten Fall einer abelschen Banachalgebra mit Eins dar. Das zweite Beispiel findet seinen Platz in dieser Theorie als typisches endlichdimensionales Beispiel einer nicht abelschen Banachalgebra, wobei eine geeignete Norm für die Matrizen zu wählen ist. Das Spektrum eines Operators war im ersten Fall der Wertebereich und da die Funktionen stetig auf einem Kompaktum sein sollen irgendeine kompakte Teilmenge des C. Im zweiten Fall ist das Spektrum eine endliche Menge von Punkten in C und daher ebenfalls kompakt. Diese Tatsache kann auch im abstrakten Fall bewiesen werden:

Satz: Das Spektrum σ(A) eines Elementes A einer Banach-Algebra mit Eins ist immer nicht-leer und kompakt.

Aus diesem Satz folgt unmittelbar, dass es einen betragsmäßig größten Spektralwert gibt, denn das Supremum

$r(A) = \sup \left\{|z|: z \in \sigma(A) \right\}$

wird auf dem kompakten Spektrum angenommen. Man nennt diesen Wert den Spektralradius von A. Im Beispiel der Algebra der stetigen Funktionen sieht man unmittelbar ein, dass der Spektralradius gerade der Norm der Elemente entspricht. Aus der linearen Algebra weiß man jedoch, dass dies für Matrizen im Allgemeinen nicht gilt, da z. B. die Matrix

$\mathbf{A}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

nur den Eigenwert 0 besitzt, und daher ist r(A)=0, aber die Norm der Matrix (egal welche) ist nicht 0. Der Spektralradius ist im Allgemeinen tatsächlich kleiner als die Norm, es gilt aber

Satz: In einer Banach-Algebra mit Eins existiert für jedes Element A der Grenzwert $\lim \|\mathbf{A}^n\|^{1/n}$ und ist gleich dem Spektralradius von A.

Lineare Operatoren auf einem Banachraum

Die Spektraltheorie von im Allgemeinen unbeschränkten linearen Operatoren auf einem Banachraum (oder sogar Hilbertraum) ist eine Erweiterung der Spektraltheorie der Banachalgebra der beschränkten Operatoren auf eben diesem Raum. Da unbeschränkte Operatoren allerdings keine Banachalgebra bilden, finden nicht alle Ergebnisse der Theorie der Banachalgebren Anwendung. Andererseits kann für diese eigentlichen Operatoren der Begriff des Spektrums differenzierter betrachtet werden, indem man Eigenschaften der Operatoren benutzt, die aus ihrer Wirkung als lineare Abbildungen herrühren.

Im folgenden betrachten wir einen linearen Operator T definiert auf einem Banachraum X (ein vollständiger normierter Raum).

Die Resolvente

Sei T ein linearer, im allgemeinen unbeschränkter Operator im Banachraum X. Die Resolventenmenge $\varrho(\mathbf{T})$ besteht aus allen komplexen Zahlen λ, so dass es einen auf einer dichten Teilmenge des Raumes X definierten, beschränkten Operator R_λ gibt mit $R_\lambda(\mathbf{T}-\lambda \mathbf{1})=(\mathbf{T}-\lambda \mathbf{1})R_\lambda = \mathbf{1}$.

Der Operator $R_\lambda=(\mathbf{T}-\lambda \mathbf{1})^{-1}$ heißt Resolvente des Operators T.

Das Komplement zur Resolventenmenge ist die Menge der komplexen Zahlen, für die die Resolvente nicht existiert oder unbeschränkt ist, also das Spektrum des Operators T und wird mit $\sigma(\mathbf{T}) = \mathbb{C}\setminus {\varrho(\mathbf{T})}$ bezeichnet.

Das Spektrum lässt sich nun in verschiedene Komponenten untergliedern, die sich gewissermaßen durch den speziellen Grund für Nichtexistenz einer beschränkten Resolvente unterscheiden.

Das Punktspektrum

Wenn der Operator $\mathbf{T}-\lambda \mathbf{1}$ nicht injektiv ist, das heißt $\ker(T-\lambda\mathbf{1})>\{0\}$, dann ist λ ein Element des Punktspektrums $\sigma_p(\mathbf{T})$ von T. Die Elemente des Punktspektrums werden Eigenwerte genannt.

Das stetige Spektrum

Wenn der Operator $\mathbf{T}-\lambda \mathbf{1}$ injektiv, jedoch nicht surjektiv ist, aber ein dichtes Bild besitzt, das heißt es existiert ein Inverses, das jedoch nur auf einem dichten Teilraum des Banachraumes X definiert ist, dann ist λ ein Element des stetigen Spektrums $\sigma_c(\mathbf{T})$ von T.

Das Residualspektrum

Wenn der Operator $\mathbf{T}-\lambda \mathbf{1}$ injektiv ist, jedoch kein im Banachraum X dichtes Bild besitzt, dann ist λ ein Element des Residualspektrums $\sigma_r(\mathbf{T})$ von T. In diesem Fall ist $\mathbf{T}-\lambda \mathbf{1}$ insbesondere nicht surjektiv. Der zu $\mathbf{T}-\lambda \mathbf{1}$ inverse Operator existiert, ist jedoch lediglich auf einem nicht dichten Teilraum von X definiert.

Besondere Eigenschaften beschränkter Operatoren

Da die beschränkten Operatoren auf einem Banachraum eine Banachalgebra bilden (mit der Operatornorm als Norm der Algebra), finden alle Ergebnisse der Spektraltheorie von Banachalgebren hier Anwendung.

Kompakte Operatoren

Weitere Eigenschaften kann man allerdings für eine Spezialklasse von beschränkten Operatoren auf einem Banachraum finden. Diese Spezialklasse sind die so genannten kompakten Operatoren, als die solche Operatoren bezeichnet werden, die jede beschränkte Menge des Banachraumes auf eine relativkompakte Menge desselben Banachraumes abbilden, d.h. auf eine Menge, deren Abschluss kompakt ist. Diese Klasse von Operatoren bildet für sich eine Banachalgebra, die zudem ein Norm-abgeschlossenes Ideal innerhalb der Algebra aller beschränkten Operatoren bildet.

Das Spektrum kompakter Operatoren ist erstaunlich einfach in dem Sinne, dass es fast nur aus Eigenwerten besteht. Die genaue Aussage ist in dem folgenden Satz von F. Riesz zusammengefasst:

Satz: Für einen kompakten Operator T auf einem unendlichdimensionalen Banachraum X kann nur genau einer der drei folgenden Fälle auftreten:

1. σ(T)={0}.
2. σ(T)={0,λ₁,...,λ_n} und alle λ_i sind Eigenwerte.
3. σ(T)={0,λ₁,...} und alle λ_i sind Eigenwerte mit genau einem Häufungspunkt in der Null.

Außerdem haben alle Eigenwerte, die von Null verschieden sind, endliche Multiplizität, das heißt der Kern von T-λ 1 ist endlichdimensional.

Unbeschränkte Operatoren; Spektralzerlegung

Die in der Physik (Quantenmechanik) vorkommenden Operatoren sind durchweg unbeschränkte selbstadjungierte Operatoren im Hilbertraum. Aussagen über ihr Spektrum sind sehr wesentlich: Nur die Spektralwerte sind messbar und es gilt folgende Aussage.

Das Spektrum eines selbstadjungierten Operators (bzw. eines sog. normalen Operators - das ist einfach die Summe $\hat A_1+{\rm i}\hat A_2$ zweier miteinander vertauschbarer selbstadjungierter Operatoren $\hat A_1$ und $\hat A_2$, wobei i die imaginäre Einheit ist) kann in drei Teile zerlegt werden:

1. Das Punktspektrum, bei den Physikern meist „diskretes Spektrum“ genannt. Es besteht aus der abzählbaren Menge der Eigenwerte, die $\in \mathbb R$ bzw. $\mathbb C$ sind und mit den sog. Eigenfunktionen verknüpft sind. Hierbei treten in unterschiedlichem Kontext stets Summen auf.
2. Beim zweiten Anteil, dem sog. absolut-kontinuierlichen Spektralanteil, bei den Physikern meist kontinuierliches Spektrum genannt, hat man dagegen anstelle der Summen gewöhnliche Riemannsche bzw. Lebesguesche Integrale, entsprechend einer gewöhnlichen überabzählbaren Menge sog. uneigentlicher Eigenwerte und verallgemeinerter Eigenfunktionen, die nicht quadratintegrierbar sind, aus denen man aber durch Wellenpaket-Konstruktion Elemente des Hilbertraums bilden kann. Der eben genannte Spektralanteil kommt sehr häufig vor; viele Operatoren - gerade die wichtigsten in der Quantenmechanik, Orts- und Impuls-Operator - haben nämlich ein absolut-kontinuierliches Spektrum.
3. In seltenen Fällen, zum Beispiel auf einem Gitter bei „inkommensurablen“ Werten des Magnetfeldes, hat man zusätzlich einen dritten Spektralanteil, das sog. singulär-kontinuierliche Spektrum, entsprechend einer überabzählbaren Cantormenge. In diesem Fall muss man mit Stieltjes-Integralen nicht-differenzierbarer monotoner Funktionen arbeiten.

Zusammen geben alle drei Anteile, bei Gewichtung mit den Funktionsquadraten, genau den Wert 1, entsprechend der Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Quantenmechanik.

Weitere Anwendungen

• Über die Anwendungen in der Quantenmechanik wurde gerade wesentliches gesagt. Gleichwohl sollen hier noch einige konkrete Aussagen ergänzt werden:

Das Spektrum des Hamiltonoperators in der Quantenmechanik sind die möglichen Energiewerte, die an dem betrachteten System gemessen werden können. Der Hamiltonoperator ist damit (und weil er die Dynamik des Systems bestimmt, siehe Mathematische Struktur der Quantenmechanik) ein besonders wichtiger Spezialfall für die im allgemeinen unbeschränkten selbstadjungierten Operatoren auf dem Hilbertraum. Dieser repräsentiert die quantenmechanischen Zustände. Die Selbstadjungiertheit des Operators gewährleistet, wie oben bereits erwähnt, dass die möglichen Messwerte (Spektralwerte) reelle Zahlen sind.

• In der Klassischen Mechanik und der Statistischen Mechanik werden Observablen durch Funktionen auf dem Phasenraum modelliert. Ganz analog zur Quantenmechanik gilt auch in diesem Fall, dass die möglichen Messwerte die Spektralwerte der Observable sind, also in diesem Fall einfach die Funktionswerte.
• In der algebraischen Quantentheorie werden Observablen abstrakt als Elemente bestimmter C*-Algebren (spezielle Banachalgebren) eingeführt. Ohne eine konkrete Darstellung dieser Algebra als Menge eigentlicher Operatoren auf einem Hilbertraum anzugeben erlaubt es der Spektralkalkül dieser Algebren dann, die mögliche Messwerte der Observablen zu berechnen. Die Zustände des physikalischen Systems werden dann nicht als Vektoren im Hilbertraum, sondern als lineare Funktionale auf der Algebra eingeführt. Die klassischen Theorien, wie die klassische (statistische) Mechanik, können in diesem Bild als Spezialfälle angesehen werden, in denen die C*-Algebra abelsch ist.

Siehe auch

• Spektrum eines Ringes