Punktspiegelung

Bestimmte Arten von geometrischen Abbildungen der Zeichenebene oder des (euklidischen) Raumes in sich werden als Spiegelungen bezeichnet. Gelegentlich wird auch die Inversion als Spiegelung an einem Kreis oder Kreisspiegelung bezeichnet.

Punktspiegelung

Halbieren der Verbindungsstrecke; Halbdrehung

Es handelt sich um eine Abbildung, die durch einen Punkt Z (Spiegelpunkt, Zentrum) gegeben ist. Die Spiegelung am Punkt Z ordnet jedem Punkt P der Zeichenebene oder jedem Punkt des Raumes einen Bildpunkt P' zu, der dadurch bestimmt ist, dass die Verbindungsstrecke [PP'] vom Punkt Z halbiert wird.

Zuweilen wird die Punktspiegelung auch als Inversion bezeichnet; man beachte jedoch, dass die Bezeichnung Inversion häufig für eine andere Abbildung, die Spiegelung an einem Kreis, benutzt wird.

Eine Punktspiegelung hat genau einen Fixpunkt (das heißt einen Punkt, den die Abbildung unverändert lässt), nämlich das Zentrum Z. Fixgeraden (also die Geraden, die die Abbildung in sich selbst überführt) sind genau die Geraden durch Z. Eine beliebige Gerade g wird auf eine zu g parallele Gerade (Bildgerade) g' abgebildet.

In der Ebene ist die Punktspiegelung am Zentrum Z gleichbedeutend mit einer Drehung um 180° bezüglich eines Drehzentrums Z.

Punktspiegelungen sind geraden-, längen- und winkeltreu, also Kongruenzabbildungen. Jede Punktspiegelung lässt sich ersetzen durch zwei hintereinander ausgeführte Achsenspiegelungen, wobei die Achsen dieser Spiegelungen durch das Zentrum Z gehen und zueinander senkrecht sind.

In der Kristallographie wird eine Punktspiegelung, dort als Inversion bezeichnet, mit dem Hermann-Mauguin-Symbol $\bar{1}$ bezeichnet.

Siehe auch: Punktsymmetrie

Achsenspiegelung

Rechtwinkliges Halbieren, Änderung des Umlaufsinns, Fixgeraden (rot und blau)

Die Achsenspiegelung (auch Geradenspiegelung) ist durch eine Gerade a (Spiegelachse oder kurz Achse) gegeben. Sie ordnet jedem Punkt P einen Bildpunkt P' zu, der dadurch bestimmt ist, dass die Verbindungsstrecke [PP'] von der Achse a rechtwinklig halbiert wird.

Die Fixpunkte einer Achsenspiegelung sind genau die Punkte von a. Man spricht daher auch von der Fixpunktgeraden a. Die Fixgeraden der Achsenspiegelung sind genau die Achse a selbst sowie alle Lotgeraden zur Achse. Im räumlichen Fall gibt es auch Fixebenen, nämlich die zur Achse a orthogonalen Ebenen.

Auch die Achsenspiegelung ist eine Kongruenzabbildung. Wenn zwei kongruente Objekte vorliegen, können diese in jedem Fall durch Komposition (Verkettung, Hintereinanderausführung) von höchstens drei Achsenspiegelungen ineinander übergeführt werden. Die Achsenspiegelung kann deshalb als ein Grundbegriff der metrischen Geometrie verwendet werden.

In der Ebene ist zu beachten, dass durch eine Achsenspiegelung der Umlaufsinn eines Dreiecks geändert wird. Sie ist also keine eigentliche „Bewegung“, das heißt, sie kann nicht durch eine physikalische Bewegung verwirklicht werden, ohne dass das Objekt die Ebene verlässt.

Im dreidimensionalen Raum entspricht die Achsenspiegelung einer Drehung um 180° um die Spiegelachse. Ein Objekt, das zusammen mit der Spiegelachse in einer Ebene liegt, wird dabei in die gleiche Ebene „umgeklappt“; dies ist die Bewegung, die bei der Beschränkung auf eine Ebene nicht möglich war.

Siehe auch: Achsensymmetrie, Spiegelverkehrtes Bild

Schrägspiegelung

Zum Vektor parallele Geraden durch die Punkte zeichnen, Punkte über die Schnittpunkte mit der Achse spiegeln

Die Schrägspiegelung ist der Achsenspiegelung sehr ähnlich. Der Unterschied zur Achsenspiegelung besteht darin, dass bei der Schrägspiegelung ein Punkt nicht rechtwinklig, sondern in einer vorgegebenen Richtung (z.B. durch einen Vektor) an der Achse gespiegelt wird. Das führt dazu, dass geometrische Figuren nach der Spiegelung verzerrt wirken und Strecken und Geraden anders ausgerichtet sind als vorher.

Die Fixpunkte der Schrägspiegelung liegen, genau wie bei der Achsenspiegelung, auf der Spiegelachse, welche somit eine Fixpunktgerade ist.

Das Ergebnis der Schrägspieglung bei einer geometrischen Figur ist flächentreu, aber weder geraden-, winkel- noch längentreu, was bedeutet das die Schrägspiegelung keine Kongruenzabbildung ist.

Einige geometrische Figuren wie z. B. Quadrate und Kreise, die spezielle Eigenschaften haben, sind nach einer Schrägspiegelung eine andere Figur. So wird z. B. aus einem Kreis eine Ellipse und aus einem Quadrat eine Raute.

Ebenenspiegelung

Rechtwinkliges Halbieren, Änderung der Simplexorientierung, Fixelemente (rot und blau)

Diese weitere Art der Spiegelung kommt nur in der Raumgeometrie vor. Sie ist gegeben durch eine Ebene α, die Spiegelebene. Der Bildpunkt von P ist dadurch bestimmt, dass die Verbindungsstrecke zwischen ihm und seinem Bildpunkt P' von der Spiegelebene rechtwinklig halbiert wird.

Die Reflexion von Lichtstrahlen (siehe Optik) an einem ebenen Spiegel entspricht einer Ebenenspiegelung.

Fixpunkte sind genau die Punkte der Spiegelebene. Fixgeraden sind die Geraden der Spiegelebene sowie die Geraden, die zu dieser orthogonal verlaufen. Fixebenen sind die Spiegelebene und die zu ihr orthogonalen Ebenen.

Die Ebenenspiegelung verändert die Orientierung eines Simplex'. Auch sie ist also keine „eigentliche“ Bewegung: Ein Tetraeder lässt sich nicht physisch in sein Spiegelbild überführen.

In der Kristallographie wird die Spiegelung mit dem Hermann-Mauguin-Symbol m bezeichnet. Kombinationen aus Spiegelung und Translation bezeichnet man als Gleitspiegelung, das entsprechende Symmetrieelement ist die Gleitspiegelebene.

Spiegelungen in Räumen beliebiger Dimension

In einem n-dimensionalen euklidischen Raum gibt es n Arten von Spiegelungen, nämlich Spiegelungen an 0, 1,… (n-1)-dimensionalen Teilräumen (Spiegelelementen).

Fixpunkte sind stets die Punkte des Spiegelelements. Höherdimensionale Fixelemente sind dessen Teilräume sowie die Teilräume, die zu diesem orthogonal sind.

Die Spiegelung an einem (n-1)-dimensionalen Teilraum lässt sich jeweils nicht als „eigentliche Bewegung“ im n-dimensionalen Raum verstehen. Bei Einbettung in einen (n+1)-dimensionalen Raum wird sie gleichbedeutend mit einer involutorischen Drehung um das Spiegelelement.

Hieraus ergibt sich unter anderem, dass im eindimensionalen Fall (also auf einer Geraden) die Punktspiegelung die einzig mögliche Spiegelung ist, und dass diese, da sie die Reihenfolge der Punkte umkehrt, ohne Verlassen der Geraden nicht als Bewegung verstanden werden kann.

Literatur

• H. Schupp: Elementargeometrie. UTB Schöningh 1977, ISBN 3-506-99189-2

Siehe auch

• Spiegelungsmatrix (Lineare Algebra)

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Spiegelung auf MathWorld (englisch)