Q-Statistik

Mit Hilfe eines Portmanteau-Tests wird für mehrere Autokorrelationskoeffizienten die Signifikanz zu Null getestet. Dies ist vor allem bei der Prüfung der Autokorrelationsfreiheit der Residuen im Rahmen der Diagnosephase einer Zeitreihenanalyse wichtig.

Portmanteau-Tests sind reine Signifikanztests. Sie testen nicht gegen eine klar formulierte Gegenhypothese.

Der Output wird Q-Statistik genannt.

Box/Pierce

Die ursprüngliche Version des Tests stammt von Box/Pierce (1970). Die Teststatistik sieht wie folgt aus:

$Q_{BP}=T\sum_{l=1}^K \rho^2_l(\hat{Z_t})$

Dabei ist $\rho_l(\hat{Z_t})$ die (empirische) Autokorrelation der Reihe $(\hat{Z_t})$ zum Lag (der zeitlichen Verschiebung) l, T der Umfang des Datensatzes und K die "Tiefe" der getesteten Autokorrelationen.

Die Nullhypothese für diesen Test lautet:

$H_0: \rho_1(\hat{Z_t})=...=\rho_K(\hat{Z_t})=0$

Die Prüfgröße ist χ²-verteilt mit v = K - p - q Freiheitsgraden. Das geschätzte ARIMA(p;d;q)-Modell kann verworfen werden, falls

$Q_{BP}>\chi^2_{v;1-\alpha} .$

Die Auswahl eines geeigneten Wertes für K (Anzahl der Koeffizienten, die gemeinsam getestet werden sollen) ist nicht unproblematisch. Ist K zu niedrig, greift die Asymptotik der χ²-Approximation nicht. Auch ein zu großes K hat nicht gewünschte Effekte. Für die Bestimmung von K kann folgende Faustregel verwendet werden:

$K\approx{2}\sqrt{T} .$

Ljung/Box

Da der Box-Pierce-Test nur bei langen Zeitreihen mit mehr als 100 Zeitreihenwerten zufriedenstellend arbeitet, wird von Ljung/Box (1978) eine abgewandelte Teststatistik herangezogen. Dabei wird T durch T(T+2)/(T-K) ersetzt. Als Teststatistik ergibt sich:

$Q_{LB}=T(T+2)\sum_{l=1}^K\frac{1}{T-l}\rho^2_l(\hat{Z_t}) .$

Literatur

• Box, G.E.P.; Pierce, D.A.: Distribution of Residual Correlations in Autoregressive-Integrated Moving Average Time Series Models; Journal of the American Statistical Association, Vol. 65, 1509-1526, 1970.
• Ljung, G.M.; Box, G.E.P.: On a Measure of Lack of Fit in Time Series Models; Biometrika 65, Nr. 2, 297-303, 1978.