Quadratur des Rechtecks

Die Quadratur des Rechtecks ist eine klassische Aufgabe der Geometrie. Mit Lineal und Zirkel soll aus einem gegebenen Rechteck ein Quadrat mit gleich großer Fläche gezeichnet werden. Im Gegensatz zur Quadratur des Kreises, die unlösbar ist, ist die Quadratur des Rechtecks auf verschiedene Arten möglich.

Ausgangspunkt für die folgenden beiden Konstruktionen sind zwei auf Euklid zurückgehende mathematische Gesetze des rechtwinkeligen Dreiecks, der Höhensatz und der Kathetensatz.

In einem rechtwinkeligen Dreieck seien a und b die den rechten Winkel einschließenden Katheten und c die Hypotenuse. h sei die Höhe auf die Seite c, und p bzw. q seien die beiden Hypotenusenabschnitte. Dann gelten folgende Beziehungen:

$h^2 = p \cdot q$ (Höhensatz von Euklid)

$a^2 = c \cdot p$ und $b^2 = c \cdot q$ (Kathetensatz von Euklid)

Methode mit dem Höhensatz

Ganz egal, welche Proportionen das gegebene (hier grüne) Rechteck hat: Wir nehmen an, seine eine Seite wäre der Hypotenusenabschnitt p und seine andere Seite der Hypotenusenabschnitt q eines rechtwinkeligen Dreiecks. Dann schwenken wir die (hier) kürzere Seite des Rechtecks um 90° und erhalten die Basis eines rechtwinkeligen Dreiecks. Über dieser Basis zeichnen wir einen Thaleskreis. Die Verlängerung der kürzeren Rechteckseite schneidet den Thaleskreis und liefert die Höhe des rechtwinkeligen Dreiecks mit den Hypotenusenabschnitten p und q. Wenn man nun über dieser Höhe ein (hier oranges) Quadrat errichtet, hat dieses exakt denselben Flächeninhalt wie das gegebene Rechteck.

Methode mit dem Kathetensatz

Bei der zweiten Methode nimmt man an, die längere Seite des (hier grünen) Rechtecks würde sich über die gesamte Basis c eines rechtwinkeligen Dreiecks erstrecken. Dann dreht man die kürzere Seite des Rechtecks um 90° nach Innen, sie liefert den Hypotenusenabschnitt q und den Fußpunkt der Höhe h. Dann zeichnet man über der Basis c einen Thaleskreis. Der Schnittpunkt der Höhe mit der Kreislinie ergibt den dritten Dreieckspunkt, wodurch sich die Kathete b ergibt. Wenn man nun über b ein (hier oranges) Quadrat errichtet, hat dieses exakt denselben Flächeninhalt wie das gegebene Rechteck.

Andere Methoden

Auch der Sekanten-Tangenten-Satz lässt sich für die Quadratur des Rechtecks verwenden: Auf einer Geraden g wählt man einen Punkt R und trägt die Strecken p = PR und q = QR so ab, dass P und Q auf derselben Seite von R liegen. Sei M der Mittelpunkt der Strecke PQ. Sei k₁ der Kreis mit Durchmesser PQ, und k₂ der Kreis mit Durchmesser MR. Sei T ein Schnittpunkt dieser Kreise. Der Winkel MTR ist nach dem Satz von Thales ein rechter, daher ist RT Tangente an k₁. Nach dem Sekanten-Tangenten-Satz gilt nun RT² = pq.