Rabi-Formel

schematische Darstellung eines Zweizustandssystems, das mit elektromagnetischer Strahlung wechselwirkt.

Die Rabi-Formel (nach Isidor Isaac Rabi) gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, ein Zwei-Niveau-System, das mit einer Sinus-förmigen Strahlung wechselwirkt, in einem der beiden Zustände zu finden. Sie kann z.B. angewendet werden, um das Verhalten eines Atoms zu berechnen, das mit Licht (oder allgemeiner elektromagnetischer Strahlung) wechselwirkt. Mit ihr kann man grundlegende Vorgänge bei spektroskopischen Messungen erklären. Die Formel ergibt sich aus der störungstheoretischen Betrachtung des Systems.

Die Wahrscheinlichkeit, dass das System im Zustand 2 vorliegt, wenn es Sinus-förmig gestört wird, beträgt:

$P_{2} (t) = \left( \frac{4 |V| ^{2}}{\omega _{21} ^{2} + 4 |V| ^{2}} \right) \sin ^{2} \frac{1}{2} (\omega _{21} ^{2} + 4 |V| ^{2}) ^{\frac{1}{2}} t$

mit $\hbar \omega _{21} = \Delta E$: Abstand der Energieniveaus, V: Amplitude der Störung.

Herleitung

Der Hamilton-Operator sei

H = H⁽⁰⁾ + H⁽¹⁾(t).

Die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung lautet:

$H \Psi = i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}$

Für die zu den beiden Energieniveaus gehörenden Wellenfunktionen gelte:

$H^{(0)} \psi ^{(0)} _{n} = E^{(0)}_{n} \psi ^{(0)} _{n}$,

$\Psi _{n}^{(0)} (t) = \psi _{n}^{0} e^{-\frac{i E_{n}^{0} t}{\hbar}}$

Bei Anwesenheit der Störung H⁽¹⁾(t) formuliert man:

$\Psi (t) = a_{1} (t) \Psi _{1}^{(0)} (t) + a_{2} (t) \Psi _{2}^{(0)} (t)$

Nach Einsetzen und Ausmultiplizieren erhält man zwei Differentialgleichungen:

$\frac{d a_{1}}{d t} = \frac{1}{i \hbar} a_{2} H_{12}^{(1)} (t) e^{- i \omega _{21} t}$

$\frac{d a_{2}}{d t} = \frac{1}{i \hbar} a_{1} H_{21}^{(1)} (t) e^{i \omega _{21} t}$

mit $\hbar \omega _{21} = E^{(0)}_{2} - E^{(0)}_{1}$ und $H_{ij}^{(1)} (t) = \int \psi _{i}^{*} H^{(1)} (t) \psi _{j} d \tau$.

Bei einer konstanten Störung kann man schreiben:

$H_{12}^{(1)} (t) = \hbar V$

und

$H_{21}^{(1)} (t) = \hbar V^{*}$

Nach Einsetzen und Lösen des Differentialgleichungs-Systems erhält man:

$a_{1} (t) = \left\{ \cos \Omega t + \frac{i \omega _{21}}{2 \Omega} \sin \Omega t \right\} e^{-\frac{i\omega _{21} t}{2}}$

$a_{2} (t) = - \frac{i |V|}{\Omega} \sin \Omega t\ e^{\frac{i \omega _{21} t}{2}}$

Die Wahrscheinlichkeiten ergeben sich zu P_i(t) = | a_i(t) | ².

Quellen

• P. W. Atkins, R. S. Friedman, Molecular Quantum Mechanics, 4. Aufl., Oxford University Press, Oxford, 2004, ISBN 0199274983

Literatur

• Physikalische Chemie#Literatur
• Spektroskopie#Literatur