Rayleighverteilung

In der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik wird mit Rayleighverteilung (nach John William Strutt, 3. Baron Rayleigh) eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung bezeichnet.

Wenn die Komponenten eines zweidimensionalen Zufallsvektors normalverteilt und statistisch unabhängig sind, dann ist der Betrag Rayleigh verteilt. Dies tritt zum Beispiel bei Quadraturamplitudenmodulation in Telekommunikationssystemen auf, wo die Sendesymbole durch einen Punkt in der komplexen Ebene dargestellt werden können.

Sind nun Abweichungen des Real- und Imaginärteils normal verteilt und statistisch unabhängig, so weist der Betrag der komplexen Zahl eine Rayleighverteilung auf.

Die Verteilung von 10-Minutenmittelwerten der Windgeschwindigkeit werden ebenfalls des Öfteren durch eine Rayleighverteilung beschrieben, wenn nicht eine zweiparametrige Weibull-Verteilung gewählt werden soll.

Definition

Eine stetige Zufallsvariable X heißt Rayleigh-verteilt, wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte

$f(x|\sigma) = \frac{x e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}}{\sigma^2}$

besitzt.

Eigenschaften

Momente

Die Momente beliebiger Ordnung können über folgende Formel errechnet werden:

$\mu_k=\sigma^k2^{k/2}\,\Gamma(1+k/2)\,$

wobei Γ(z) die Gammafunktion darstellt.

Erwartungswert

Der Erwartungswert ergibt sich zu

$\operatorname{E}(X)=\sigma \sqrt{\frac{\pi}{2}}$.

Varianz

Die Varianz der Verteilung ist

$\operatorname{Var}(X)=\frac{4-\pi}{2} \sigma^2$.

Somit ist das Verhältnis zwischen Erwartungswert und Standardabweichung bei dieser Verteilung konstant:

$\frac{\operatorname{E}(X)}{\sqrt{\operatorname{Var}(X)}}=\sqrt{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\frac{2}{4-\pi}} =\sqrt{\frac{\pi}{4-\pi}}\approx 1,91$.

Schiefe

Für die Schiefe erhält man

$\operatorname{v}(X)=\frac{2\sqrt{\pi}(\pi - 3)}{(4-\pi)^{3/2}}$

Wölbung

Die Wölbung ergibt sich zu

$\beta_2(X) = - \frac{6\pi^2 - 24\pi +16}{(4-\pi)^2}$

Charakteristische Funktion

Die Charakteristische Funktion ist

$\varphi(t)=1-\sigma te^{-\sigma^2t^2/2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\!\left(\operatorname{erf}\!\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)-i\right)$

wobei $\operatorname{erf}$ die komplexe Fehlerfunktion ist.

Momenterzeugende Funktion

Die Momenterzeugende Funktion ist gegeben durch

$M(t)=1+\sigma te^{\sigma^2t^2/2}\sqrt{\frac{\pi}{2}} \left(\operatorname{erf}\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)+1\right)$

wobei $\operatorname{erf}(z)$ wiederum die Fehlerfunktion ist.

Parameter Schätzung

Die Maximum-Likelihood Schätzung von σ erfolgt über:

$\sigma\approx\sqrt{\frac{1}{2N}\sum_{i=0}^N x_i^2}$

Beziehungen zu anderen Verteilungen

Die Chi-Verteilung, Weibull-Verteilung und Rice-Verteilung sind Verallgemeinerungen der Rayleighverteilung.

Beziehung zur Chi-Quadrat-Verteilung

Wenn R˜Rayleigh(1) dann ist R² Chi-Quadrat verteilt mit zwei Freiheitsgraden: $R^2 \sim \chi^2_2$

Beziehung zur Weibull-Verteilung

$\mathrm{Rayleigh}(\sigma^2) = \mathrm{Wei}\left(\frac{1}{2 \sigma^2}, 2\right)$

Beziehung zur Exponentialverteilung

Wenn X exponentialverteilt ist X˜Exp(x | λ) dann ist $Y=\sqrt{2X\sigma^2\lambda} \sim \mathrm{Rayleigh}(y|\sigma)$.

Beziehung zur Gammaverteilung

Wenn R˜Rayleigh(σ²) dann ist $\sum_{i=1}^N R_i^2$ gammaverteilt mit den Parametern N und 2σ²: $[Y=\sum_{i=1}^N R_i^2] \sim \Gamma(N,2\sigma^2)$.

Beziehung zur Normalverteilung

R˜Rayleigh(σ) ist Rayleigh verteilt, wenn $R = \sqrt{X^2 + Y^2}$ wobei $X \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2)$ und $Y \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2)$ zwei statistisch unabhängige Normalverteilungen sind.

Sonstiges

Das Maximum erreicht die Raleigh-Verteilung für x = σ denn :$\frac{d}{dx}f(x|\sigma) = \frac{e^{(-\frac{1}{2}\frac{x^2}{\sigma^2}})}{\sigma^2} - x^2 \frac{e^{(-\frac{1}{2} \frac{x^2}{\sigma^2})}}{\sigma^4} = 0$ für $x = \pm\sigma$.

Im Maximum hat f() den Wert: $f(\sigma|\sigma) = \frac{e^{(-\frac{1}{2})}}{\sigma}$

Siehe auch

• Fading (Elektrotechnik)

Diskrete univariate Verteilungen

Diskrete univariate Verteilungen für endliche Mengen:
Benford | Bernoulli-Verteilung | Binomialverteilung | Kategoriale | Hypergeometrische Verteilung | Rademacher | Zipfsche | Zipf-Mandelbrot

Diskrete univariate Verteilungen für unendliche Mengen:
Boltzmann | Conway-Maxwell-Poisson | Negative Binomialverteilung | Erweiterte negative Binomial | Compound Poisson | Diskret uniform | Discrete phase-type | Gauss-Kuzmin | Geometrische | Logarithmische | Parabolisch-fraktale | Poisson | Skellam | Yule-Simon | Zeta

 

Kontinuierliche univariate Verteilungen

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit kompaktem Intervall:
Beta | Kumaraswamy | Raised Cosine | Dreiecks | U-quadratisch | Stetige Gleichverteilung | Wigner-Halbkreis

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit halboffenem Intervall:
Beta prime | Bose-Einstein | Burr | Chi-Quadrat | Coxian | Erlang | Exponential | F | Fermi-Dirac | Folded Normal | Fréchet | Gamma | Extremwert | Verallgemeinerte inverse Gausssche | Halblogistische | Halbnormale | Hotellings T-Quadrat | hyper-exponentiale | hypoexponential | Inverse Chi-Quadrat | Scale Inverse Chi-Quadrat | Inverse Normal | Inverse Gamma | Lévy | Log-normal | Log-logistische | Maxwell-Boltzmann | Maxwell speed | Nakagami | nichtzentrierte Chi-Quadrat | Pareto | Phase-type | Rayleigh | relativistische Breit-Wigner | Rice | Rosin-Rammler | Shifted Gompertz | Truncated Normal | Type-2-Gumbel | Weibull | Wilks’ lambda

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit unbeschränktem Intervall:
Cauchy | Extremwert | Exponential Power | Fisher’s z | Fisher-Tippett (Gumbel) | Generalized Hyperbolic | Hyperbolic Secant | Landau | Laplace | Alpha stabile | logistisch | Normal (Gauss) | Normal-inverse Gausssche | Skew normal | Studentsche t | Type-1 Gumbel | Variance-Gamma | Voigt

 

Multivariate Verteilungen

Diskrete multivariate Verteilungen:
Ewen's | Multinomial | Dirichlet Multinomial

Kontinuierliche multivariate Verteilungen:
Dirichlet | Generalized Dirichlet | Multivariate Normal | Multivariate Student | Normalskalierte inverse Gamma | Normal-Gamma

Multivariate Matrixverteilungen:
Inverse-Wishart | Matrix Normal | Wishart