Relative Standardabweichung

Der Variationskoeffizient $\operatorname{VarK}$ ist eine statistische Kenngröße in der Stochastik und der mathematischen Statistik. Er ist definiert als die relative Standardabweichung, d.h. die Standardabweichung dividiert durch den Mittelwert einer Zufallsvariablen X. In der Regel wird der Variationskoeffizient in Prozent angegeben, d. h.

$\operatorname{VarK}(X) = \frac{\mathrm{Standardabweichung}(X)}{\mathrm{Mittelwert}(X)} = \frac{\sqrt{\operatorname{Var}(X)}}{\operatorname{E}(X)}$

Die Motivation für diesen Kennwert ist, dass eine Zufallsvariable mit großem Mittelwert im Allgemeinen eine größere Varianz aufweist als eine mit einem kleinen Mittelwert. Da die Varianz und damit die Wurzel daraus, die Standardabweichung, nicht normiert sind, kann im Allgemeinen nicht beurteilt werden, ob eine Varianz groß oder klein ist.

Beispiel: So schwanken beispielsweise die Preise für ein Pfund Salz, das im Durchschnitt wohl etwa 0,5 Euro kostet, im Cent-Bereich, während Preise für ein Auto, das im Mittel beispielsweise 20.000 Euro kostet, im 1000-Euro-Bereich schwanken.

Der Variationskoeffizient hingegen stellt eine Art Normierung der Varianz dar. Das bedeutet insbesondere: Ist die Standardabweichung größer als der Mittelwert, so ist der Variationskoeffizient größer 1.

Quadrierter Variationskoeffizient

Die Varianz der Zufallsgröße $X/\operatorname{E}(X)$ wird als quadrierter Variationskoeffizient $\operatorname{SCV}$ bzw. $c^2_X$ bezeichnet. Er hängt wie der Variationskoeffizient nicht von der Dimension ab, in der die Größe X gemessen wird.

$\operatorname{SCV} = c^2_X = \operatorname{Var}\left(\frac{X}{\operatorname{E}(X)}\right) = \frac{\operatorname{E}(X^2) - \left[\operatorname{E}(X)\right]^2}{\left[\operatorname{E}(X)\right]^2} = \frac{\operatorname{E}(X^2)}{\left[\operatorname{E}(X)\right]^2} - 1$

Beispiel

Die reelle Zufallsvariable X sei standardnormalverteilt. Erwartungswert und Standardabweichung von X haben den Wert 0 bzw. 1. Der Variationskoeffizent kann für diese Zufallsvariable gar nicht definiert werden (Division durch Null). Die verschobene Zufallsvariable X + 1000 hat ebenso die Standardabweichung 1, aber den Erwartungswert 1000. Hier errechnet sich ein Variationskoeffizient von 1 / 1000 = 0,001.

Anwendung bei Messreihen

Liegt an Stelle der Verteilung der Zufallsvariablen eine konkrete Meßreihe von Werten $x_1,\dots,x_n$ vor, so bildet man analog den empirischen Variationskoeffizienten als Quotienten aus empirischer Standardabweichung und arithmetischem Mittelwert.