Root Raised Cosine Filter

Das Root-Raised-Cosine-Filter, abgekürtzt RRC-Filter, ist ein in der digitalen Signalverarbeitung angewandtes elektronisches Filter welches zur Formung von Signalimpulsen zur Übertragung über einen Kanal, wie beispielsweise einen Funkkanal, verwendet wird.

Allgemeines

Das Root-Raised-Cosine-Filter entspricht der Wurzel (engl. root) aus dem Raised-Cosine-Filter und dient dazu um die Charakteristik des Raised-Cosine auf Sender und Empfänger gleichmäßig zu verteilen. Es stellt dann ein so genanntes Matched Filter dar und maximiert im Empfänger das Signal-Rausch-Verhältnis. Eine Besonderheit ist, dass ein Root-Raised-Cosine-Filter für sich alleine Intersymbolinterferenz (ISI) aufweist, das heisst die einzelnen Sendeimpulse „fliessen“ am Übertragungskanal zeitlich ineinander. Erst die Kombination der beiden RRC-Filter bei Sender und Empfänger ergeben zusammen über die gesamte Strecke im Idealfall eine ISI-freie Übertragungsstrecke welche eine zeitliche Unterscheidung der einzelnen Impulse erlaubt. Die einzelnen RRC-Impulse stehen orthogonal zueinander.

Das Root-Raised-Cosine-Filter ist neben dem Gauß-Filter eines der am häufigsten eingesetzten Filter zur Impulsformung bei digitalen Übertragungssystemen.

Übertragungsfunktion

Impulsantwort h(t) eines RRC für verschiedene roll-off-Faktoren β

Der Betragsverlauf der Übertragungsfunktion H_rrc(jω) eines RRC-Filters ist gegeben durch:

$|H_{\mathrm{RRC}}(j\omega)| = \sqrt{|H_{\mathrm{RC}}(j \omega)|}$

wobei H_rc(jω) die Übertragungsfunktion des Raised-Cosine-Filters darstellt.

Die Impulsantwort h(t) eines RRC-Filters ist durch den Roll-off-Faktor β, welcher die Bandbreite bestimmt, und die Dauer eines Sendesymbols T_s gekennzeichnet und besitzt folgende Form:

$h(t) = \begin{cases} \dfrac{1}{\sqrt{T_s}} \left( 1-\beta+4\dfrac{\beta}{\pi} \right), & t = 0 \\ \dfrac{\beta}{\sqrt{2T_s}} \left[ \left(1+\dfrac{2}{\pi}\right)\sin\left(\dfrac{\pi}{4\beta}\right) + \left(1-\dfrac{2}{\pi}\right)\cos\left(\dfrac{\pi}{4\beta}\right) \right], & t = \pm \dfrac{T_s}{4\beta} \\ \dfrac{1}{\sqrt{T_s}} \dfrac{\sin\left[\pi \dfrac{t}{T_s}\left(1-\beta\right)\right] + 4\beta\dfrac{t}{T_s}\cos\left[\pi\dfrac{t}{T_s}\left(1+\beta\right)\right]}{\pi \dfrac{t}{T_s}\left[1-\left(4\beta\dfrac{t}{T_s} \right)^2 \right]}, & \mbox{andernfalls} \end{cases}$

Literatur

• John G. Proakis, Masoud Salehi: Communication Systems Engineering. 2. Auflage. Prentice Hall, 2002, ISBN 0-13-095007-6. 
• John B. Anderson: Digital Transmission Engineering. 2. Auflage. Wiley-Interscience, 2005, ISBN 0-471-69464-9, S. 26 bis 30.