Sattelpunktmethode

In der Analysis wird die Sattelpunktsnäherung verwendet, um Integrale der Form

$I = \lim_{N\to\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-Nf(x)} \; \mathrm{d}x$

näherungsweise zu berechnen.

Falls die Funktion f(x) analytisch ist und ein globales Minimum bei x₀ besitzt, so erhält man:

$I = \lim_{N \to \infty} e^{-Nf(x_0)} \sqrt{\frac{2\pi}{N f''(x_0)}}$ mit $\left. f''(x_0) = \frac{\partial ^2f(x)}{\partial x^2} \right|_{x=x_0}$.

Anwendungen

Die Sattelpunktsnäherung wird vor allem in der statistischen Physik im Grenzfall großer Systeme und der Quantenfeldtheorie verwendet.

Begründung

Für große N wird die Exponentialfunktion außerhalb der Umgebung von x₀ beliebig klein. Deshalb wird f(x) um x₀ in eine Taylorreihe entwickelt: $f(x) \approx f(x_0) + \frac{1}{2} f''(x_0) (x-x_0)^2$.

Einsetzen ins Integral liefert

$I = \lim_{N \to \infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-N f(x_0) - N \frac{1}{2} f''(x_0) (x-x_0)^2} \mathrm{d}x ={\lim_{N \to \infty} e^{-Nf(x_0)}} \; \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-N\frac{1}{2}f''(x_0)(x-x_0)^2} \; \mathrm{d}x$.

Das Integral über die Gauß-Verteilung lässt sich leicht lösen.