Sattelpunkt

Sattelpunkt von y = x³ in (0,0)

In der Mathematik bezeichnet man als Sattelpunkt, Terrassenpunkt oder Horizontalwendepunkt einen kritischen Punkt einer Funktion, der kein Extrempunkt ist. Punkte dieser Art sind, wie die zuletzt genannte Bezeichnung es andeutet, Spezialfälle von Wendepunkten.

Eindimensionaler Fall

Sattelpunkt von y = x · | x | in (0,0).

Für Funktionen einer Veränderlichen $f:U \to \mathbb{R}$ mit $U\subseteq\mathbb R$ ist das Verschwinden der ersten Ableitung an der Stelle x₀

$f\,'(x_0)=0$

eine Bedingung dafür, dass ein kritischer Punkt vorliegt. Ist die 2. Ableitung an dieser Stelle nicht gleich 0, so liegt ein Extrempunkt und damit kein Sattelpunkt vor. Für einen Sattelpunkt muss die 2. Ableitung 0 sein, wenn sie existiert. Dies ist allerdings nur eine notwendige Bedingung (für zweimal stetig differenzierbare Funktionen), wie man an der Funktion f(x) = x⁴ sieht.

Umgekehrt gilt (hinreichende Bedingung): Sind die ersten beiden Ableitungen gleich 0 und die 3. Ableitung ungleich 0, so liegt ein Sattelpunkt vor, es handelt sich also um einen Wendepunkt mit waagrechter Tangente.

Dieses Kriterium lässt sich verallgemeinern: Gilt für ein $n \in \mathbb{N}$

$f'(x_0)=f''(x_0)=\cdots=f^{(2n)}(x_0)=0 \wedge f^{(2n+1)}(x_0) \neq 0,$

sind also die ersten 2n Ableitungen gleich 0 und die (2n + 1)-te Ableitung ungleich 0, so hat der Graph von f bei x₀ einen Sattelpunkt.

Die genannte Bedingung ist allerdings nicht notwendig. Auch wenn ein Sattelpunkt an der Stelle x₀ vorhanden ist, können alle Ableitungen f⁽ⁿ⁾(x₀) gleich 0 sein.

Man kann einen Terrassenpunkt im eindimensionalen Fall als einen Wendepunkt mit Tangente parallel zur x-Achse interpretieren.

Mehrdimensionaler Fall

Spezifikation über Ableitungen

Für Funktionen mehrerer Veränderlicher (Skalarfelder) $F:U \to \mathbb{R}$ mit $U\subseteq\mathbb{R}^n$ ist das Verschwinden des Gradienten an der Stelle x₀

$\nabla F(\vec{x}_0)=0$

eine Bedingung dafür, dass ein kritischer Punkt vorliegt. Die Bedingung bedeutet, dass an der Stelle $\vec x_0$ alle partiellen Ableitungen null sind.

Ist zusätzlich die Hesse-Matrix indefinit, so liegt ein Sattelpunkt vor.

Spezifikation direkt über die Funktion

Für den Fall, dass der Sattelpunkt mit den Koordinatenachsen ausgerichtet ist, lässt sich ein Sattelpunkt auch ganz ohne Ableitungen in einfacher Weise beschreiben: Ein Punkt $(x^*,y^*)\in U$ ist ein Sattelpunkt der Funktion F, falls

$F(x,y^*) \leq F(x^*,y^*) \leq F(x^*,y)$

für alle $(x,y)\in U$ erfüllt ist. Anschaulich bedeutet dies, dass der Funktionswert von F in x-Richtung kleiner wird, sobald der Sattelpunkt verlassen wird, während ein Verlassen des Sattelpunktes in y-Richtung ein Ansteigen der Funktion F zur Folge hat. Diese Beschreibung eines Sattelpunktes ist Ursprung der Namensgebung: Ein Reitsattel neigt sich senkrecht zur Wirbelsäule des Pferdes nach unten, stellt also die x-Richtung dar, während er in y-Richtung, d.h. parallel zur Wirbelsäule, nach oben ausgeformt ist.

Falls der Sattelpunkt nicht in Koordinatenrichtung ausgerichtet ist, stellt sich die obige Beziehung nach einer Koordinatentransformation ein.

Beispiel

Die Funktion

$F(x,y) = (1-x^2)\left(1+\frac{1}{4}(y-1)^2\right)\quad \textrm{in} \quad \{(x,y)\in \mathbb{R}\times [0,\infty)\}$

hat den Sattelpunkt (0,1): Ist y = 1, so ist $F(x,1) = 1 - x^2 \leq 1 = F(0,1)$ für alle $x \in \mathbb{R}$. Für x = 0 ergibt sich

$F(0,y) = 1+\frac{1}{4}(y-1)^2 \geq 1 = F(0,1)$.

Dass (0,1) ein Sattelpunkt von F ist, lässt sich auch über das Ableitungskriterium beweisen. Es ist

$\nabla F(x,y) = \left[-2x\left(1+\frac{1}{4}(y-1)^2\right),(1-x^2)\frac{y-1}{2}\right],$

und nach Einsetzen von (x,y) = (0,1) ergibt sich $\nabla F(0,1)=\vec{0}$. Die Hesse-Matrix zu F ist

$H(x,y) = \begin{pmatrix}-2-\frac{(y-1)^2}{2} & -x(y-1)\\ -x(y-1) & \frac{1-x^2}{2}\end{pmatrix},$

und nach Einsetzen des Sattelpunktes (x,y) = (0,1):

$H(0,1) = \begin{pmatrix}-2 & 0\\ 0 & \frac{1}{2}\end{pmatrix}.$

Da ein Eigenwert von H positiv ist (1 / 2) und einer negativ ( − 2), ist die Hesse-Matrix indefinit, was nachweist, dass tatsächlich ein Sattelpunkt vorliegt.

Siehe auch

• Extremwert
• Kurvendiskussion
• Sattelpunktproblem