- Satz von Rouche
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Der Satz von Rouché ist ein Satz aus der Funktionentheorie. Er macht eine Aussage darüber, mit welchen Funktionen man eine holomorphe Funktion stören kann, ohne dass sich die Anzahl der Nullstellen ändert. Die Version für meromorphe Funktionen macht eine ähnliche Aussage für die Differenz von Nullstellen und Polstellen.
Inhaltsverzeichnis
Der Satz von Rouché für holomorphe Funktionen
Seien zwei auf dem Gebiet holomorphe Funktionen. Außerdem sei die Kreisscheibe samt ihrem Rand in G enthalten und für alle Punkte des Randes gelte:
- .
Dann haben die Funktionen f und f + g gleichviele Nullstellen (entsprechend der Vielfachheit gezählt) auf B(z0,r).
Anmerkung: B(z0,r) bezeichnet die offene Kreisscheibe mit Mittelpunkt z0 und Radius r.
Symmetrische Version
Unter Abschwächung der Voraussetzungen gilt, dass zwei holomorphe Funktionen dieselbe Anzahl von Nullstellen innerhalb eines beschränkten Gebietes mit stetigem Rand haben, wenn auf dem Rand die strenge Dreiecksungleichung
gilt.
Anwendung: Schranken für Polynomnullstellen
Es sei ein Polynom mit komplexen Koeffizienten. Das Gebiet G ist die gesamte komplexe Zahlenebene. Es sei ein Index, für den die Ungleichung
für wenigstens ein r > 0 erfüllt ist. Dann erfüllen die Funktionen f(x) = akxk und g(x) = p(x) − f(x) die Voraussetzungen des Satzes von Rouché für den Kreis B(0,r). f ist von Null verschieden und hat daher genau eine Nullstelle der Vielfachheit k im Ursprung. Daraus folgt, dass auch p=f+g genau k Nullstellen (mit Vielfachheit gezählt) im Kreis B(0,r) besitzt.
Der Satz von Rouché für meromorphe Funktionen
Seien f,g zwei auf dem Gebiet meromorphe Funktionen. Außerdem gelte , sowie dass f,g keine Null- oder Polstellen auf dem Rand haben; und für alle gelte:
- .
Dann stimmen für f und f + g die Differenzen
- Anzahl der Nullstellen – Anzahl der Polstellen
(entsprechend der Vielfachheit bzw. Polordnung gezählt) auf B(z0,r) überein.
Beweis für meromorphe Funktionen
Definiere h(z) = f(z) + g(z).
Nach Voraussetzung gilt:
- .
Da die Kreislinie kompakt ist, gibt es sogar eine offene Umgebung dieser, so dass die Ungleichung auch auf U erfüllt ist. Der Bruch f/g nimmt auf U seine Werte innerhalb des Einheitskreises B(0,1) an, daher gilt auch:
- .
Die offene Kreisscheibe B(1,1) ist im Definitionsbereich des Hauptastes des holomorphen Logarithmus enthalten, und es gilt:
- .
Nun betrachtet man folgendes Integral:
- .
Der Integrand hat eine Stammfunktion, also gilt:
- .
Nach dem Argumentprinzip gilt in Erweiterung des Residuensatzes aber auch:
wobei zf die Anzahl der Nullstellen von f auf B(z0,r) und pf die Anzahl der Polstellen von f auf B(z0,r) bezeichnen.
Daraus folgt die Behauptung:
- bzw.
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